zz: q hoch n kleiner gleich 1/(n+1)(q-1).

Question

Aufgabe:

Sei \( q \in[0,1) \). Zeigen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) die Ungleichung \( q^{n} \leq \frac{1}{(n+1)(1-q)} \) gilt. Tipp: Verwenden Sie die geo. Summenformel

Problem/Ansatz:

Ich habe seit Tagen so viele Ansätze, aber nichts stellt mich zufrieden

Mein bester Ansatz war der Induktionsbeweis und zum Ende kriegt man folgendes raus:

q kleiner gleich n+1/n+2. Aber das deckt ja nicht ab was kleiner 2/3 wäre bei q, wenn n=1...

Und dann noch folgendes Problem: (siehe geogebra)

Wie soll das überhaupt Sinn ergeben? q hoch n ist doch eindeutig größer

Comments

Versuchs in der Grafik mal mit 1-q im Nenner

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Oh je danke dir, das habe ich übersehen!

Answer 1

Die Ungleichung lautet: qⁿ ≤ 1/((n + 1)·(1 - q))

Du hast aus dem 1 - q ein q - 1 gemacht.

Weiterhin ist der Tipp mit der geometrischen Summenformel gegeben.

∑ (k = 0 bis n) (q^k) = (1 - q^(n + 1))/(1 - q)

Wir machen die rechte Seite größer

∑ (k = 0 bis n) (q^k) ≤ 1/(1 - q)

q⁰ + q¹ + q² + ... + qⁿ ≤ 1/(1 - q)

Auf der linken Seite haben wir n + 1 Summanden die streng monoton fallend sind. Wenn wir die rechte Seite durch (n + 1) teilen erhalten wir etwas größeres als den Mittelwert der Summanden. Und dieser Wert ist natürlich auch größer als der kleinste der Summanden auf der linken Seite.

qⁿ ≤ 1/((n + 1)(1 - q))

Answer 2

Die beste Idee ist normalerweise dem Hinweis zu folgen.

Benutze die geom. Reihe, Anfang: \(\frac1{1-q}=... \), schätze danach nach unten ab, indem Du die Reihe bei \(n\) abschneidest, dann überleg Dir was für die Summanden (Ziel im Auge behalten).