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Hey!

Ich habe hier eine Aufgabe und ich wollte nur nachfragen ob mein Ansatz richtig ist.

Aufgabe:
Beweisen Sie für alle x ∈ ℝ die folgende Aussage:

A: | x | = | -x |
(das sollen Betragsstriche darstellen)

Was ich gemacht habe um es zu beweisen:
Ich habe 2 Funktionen (hier: Betragsfunktionen) aufgestellt.

f(x) = | x | und g(x) = | -x |

Würde man beide Graphen skizzieren, so hätte man 2 45° Winkel die gemeinsam (Überraschung!) einen rechten Winkel ergeben.

Mein Problem bei der Aufgabe ist der Operator "Beweise". Wäre dies ein Beweis?
Das die Aussage stimmt ist ja klar...

von

2 Antworten

+1 Punkt

Das ist kein formal korrekter Beweis, höchstens eine Beweisskizze.

Der Beweis einer Behauptung wird geführt, indem anhand der Definitionen der verwendeten Begriffe gezeigt wird, dass die Behauptung wahr ist.

Vorliegend geht es um den Betrag einer Zahl. Dieser ist so definiert:

$$\left| x \right| =\left\{ \begin{matrix} x,\quad falls\quad x\quad \ge \quad 0 \\ -x,\quad falls\quad x<0 \end{matrix} \right\}$$

 

Behauptung:

| x | =  | - x |

 

Beweis:

Fallunterscheidung:

Fall 1: x ≥ 0

dann:

| x | = | - x |

<=> x = | - x | 

<=> x = - ( - x ) = x

Wahre Aussage.

 

Fall 2: x < 0

dann:

| x | = | - x |

<=> - x = | - x |

<=> - x = - x

Wahre Aussage.

 

Damit ist die Gleichung

| x | = | - x |

für alle x ∈ R bewiesen, da sie für alle x ∈ R zu einer wahren Aussage führt.

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$$\text{Die Aussage folgt bereits daraus, dass }\vert x\vert=\sqrt{x^2}\text{ und }(-x)^2=x^2\text{ ist}.$$
von

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