Galois-Theorie; einführendes Beispiel

Question

Hallo zusammen!

Wir haben gerade Galois-Theorie und zu Beginn haben wir ein eInführendes Beispiel:

Meine Frage ist jetzt dazu, wieso man $a^2b^2=-2;\: b^2c^2=-2;\: b^2c^2=-2;\: d^2a^2=-2$ (bzw. $a^2c^2=2; b^2d^2$) als Kanten (bzw. Diagonalen) eines Quadrats interpretieren kann?

Mir ist klar, dass a,b,c,d$\in \mathbb{Q}$, aber warum dann aus dieser Gleichung sich ein geometrisches Quadrat zusammensetzen lässt, verstehe ich nicht...

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Jede Kante des Quadrats kannst du lesen als: Die beiden Knoten, welche ich verbinde, erfüllen folgende Relation ... Je nachdem ob äussere Kante oder Diagonale, soll das Produkt der Knoten $-2$ bzw $2$ sein. Jetzt möchtest du alle Permutationen finden, welche diese Relationen erhalten, und das sind dann eben genau die Symmetrien des Quadrats (z.B. ist eine Permutation, welche $c$ und $d$ vertauscht, nicht erlaubt, da dann die Diagonale $ac$ zu einer äusseren Kante wird).