Grenzrate Substitution anhand von Funktion

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben ist folgende Nutzenfunktion:
$U\left(x_{1}, x_{2}\right)=2 \cdot x_{1} \cdot x_{2}$

Wie groß sind die beiden Grenznutzen?
$\delta U / \delta x_{1}=2 x_{2} ; \delta U / \delta x_{2}=2 x_{1}$

Wie groß ist die GRS?
GRS: $\frac{2 x_{2}}{2 x_{1}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}$;
Budgetgerade: $60=x_{1}+2 x_{2}$
Wie lautet die Funktion der Budgetgeraden in einem $x_{2} / x_{1}$-Diagramm=
$x_{2}=30-\frac{1}{2} x_{1}$

Bei welchem Wert von $x_{1}$ liegt das Optimum?

Text erkannt:

2.2.10 Rechenbeispiel

Bedingung: Steigung der BG = GRS. Also:
$\begin{array}{l} \frac{1}{2}=\frac{x_{2}}{x_{1}}=>x_{1}=2 \cdot x_{2}-\text { eingesetzt in Budgetgerade: } \\ 60=x_{1}+2 x_{2} \text { mit }_{1}=2 x_{2}=>60=2 x_{2}+2 x_{2}=4 x_{2}=>x_{2}=15 \Rightarrow x_{1}=30 ; \end{array}$

Problem/Ansatz:

Problem: Also GRS ist dann immer erst ableiten und dann nochmal hinschreiben. beispiel Grenzrae Subsitution Rechnung wäre super? Also um es zu verstehen. weil lösung hier sit richtig. ich verstehe nur nicht wie man GRS berechnet ?

1. **Budgetgerade umstellen**:
\[
60 = x_1 + 2x_2 \implies x_2 = 30 - 0.5x_1
\]
Die Steigung der Budgetgeraden ist $-0.5$.

2. **GRS aufstellen**:
\[
GRS = \frac{x_2}{x_1}
\]

3. **Optimum Bedingung**:
\[
-0.5 = -\frac{x_2}{x_1} \implies \frac{x_2}{x_1} = \frac{1}{2} \implies x_2 = \frac{1}{2}x_1
\]

4. **In die Budgetgerade einsetzen**:
\[
60 = 2x_2 + 2x_2 \implies 60 = 4x_2 \implies x_2 = 15 \quad \text{und} \quad x_1 = 30
\]

**Ergebnis**:
- $x_1 = 30$
- $x_2 = 15$

Comments

Also GRS ist ja zum Bsp = Delta U / Delta A / delta U/Delta B . und dann erst ableiten und dann gleiches hinschreiben ?

Answer 1

Wenn die Nutzenfunktion U(x,y) = 2xy gegeben ist. Dann ist

Grenznutzen von x: MUx = dU/dx = 2y

Grenznutzen von y: MUy = dU/dy = 2x

Grenzrate der Substitution: MRS = -MUx/MUy = -2y/(2x) = -y/x

Ist das, was du hast eine Musterlösung? Dann fehlt das negative Vorzeichen bei der Grenzrate der Substitution.

Recherchiere dazu auch z.B. unter https://studyflix.de/wirtschaft/grenzrate-der-substitution-82

Comments

Text erkannt:

$\begin{array}{l}M=\sqrt{x_{1}} \cdot \sqrt{x_{2}}=x_{1}^{0,5} \cdot 0,5 \\ =\frac{\bar{u}^{2}}{x_{1}}\left\{\frac{d x_{2}}{d x_{1}}=-\frac{\frac{1}{2} \cdot x_{1}-\frac{0}{1} \cdot x_{2}, 5}{\left.\frac{1}{2} \cdot x_{1}, 5\right) \cdot x_{2}^{-0,5}}\right. \\ =-\frac{\left(\sqrt{x_{1}} \sqrt{x_{2}}\right)^{2}}{x_{1}^{2}}=-\frac{x_{2}}{x_{2}}\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{2}}{x_{1}}\end{array}\right.\end{array}$

Also hier ist es dann oberer Bruch 0,5*x1 hoch -0,5 ist ja dann abgeleitet mal hingeschrieben und darunter auch abgeleitet mal hingeschrieben.

Also bin ich richtig wenn ich sage Abgeleitet mal abgeschrieben und unterer Bruch auch Abgeleitet mal abgeschrieben ?

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? JA oder Also immer abgeleitet mal abgeschrieben geteilt durch abgeleitet mal abgeschrieben

Für so Vieles Tausend Dank Ihr seid Mega

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Das mit dem negativen Vorzeichen ist eine Konventionsfrage. Es gibt diverse Lehrbücher, die es ohne machen.

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U(x, y) = √x·√y

MUx = √y/(2·√x)

MUy = √x/(2·√y)

MRS = -(√y/(2·√x))/(√x/(2·√y)) = -y/x

Bei Wikipedia steht übrigens

Als Grenzrate der Substitution (Abkürzung: GRS) bezeichnet man in der Mikroökonomie bei einer Zwei-Güter-Betrachtung den Absolutbetrag der Steigung einer Indifferenzkurve.

Daher wird das Minus nach der Definition weggenommen.

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Text erkannt:

Funktion imperfekter Substitute
$\begin{array}{c} \mathrm{U}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=\mathrm{x}_{1}{ }^{\frac{1}{2}} \cdot \mathrm{x}_{2}^{\frac{1}{3}} \\ \mathrm{MU}_{1}=\sum \limits_{2} \mathrm{x}_{1}^{-\frac{1}{2}} \cdot \mathrm{x}_{2}{ }^{\frac{1}{3}} \\ \mathrm{MU}_{2}=\frac{1}{3} \mathrm{x}_{1}{ }^{\frac{1}{2}} \cdot \mathrm{x}_{2}{ }^{-\frac{2}{3}} \end{array}$

   Danke Danke Mathe Coach.

AlsoMu1  ableiten mal abschreiben und für Mu2 auch wieder ableiten  mal abschreiben

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MU1 ist die Ableitung der Nutzenfunktion nach dem Gut 1.

Und klar. Ableitung erfolgt hier nach der Potenz und Faktorregel. Konstante Faktoren bleiben erhalten und Potenzen der Variablen werden nach der Potenzregel abgeleitet.

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Murks wird es allerdings im Rechenbeispiel

Bedingung: Steigung der BG = GRS

Die Steigung der Budget-Geraden ist negativ. Dann muss dort und wurde daher auch dort der Betrag genommen.

Answer 2

ich verstehe nur nicht wie man GRS berechnet ?

So wie es auf Deinem ersten Bild steht.

Comments

Ok ja hier einfach dann Grenznutzen A geteilt durch Grenznutzen B .Ok ja in dem Beispiel einfach. habe Beispiel gemeint mit komplexen Funktion. 0,5xhoch3 sowas und dann geteilt durch anderen. Danke hab im Internet was gutes gefunden.