Householder Matrix zeigen, dass Hx = Lambda*e1 gilt.

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Householder-Matrix H_w := E_n -2ww^T ∈ ℝ^nxn mit ||w||₂ = 1
Ich soll zeigen, dass H_wx = λe₁ mit λ ∈ℝ gilt und diese Konstante angeben.
Sei dabei x ∈ℝ\span{e1} und σ = ||x||₂ sowie w = (x+σe₁) / ||x+σe₁||₂.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist einfach mal aufschreiben. Also H_wx = x - 2ww^Tx, dann w = (x+σe₁) / ||x+σe₁||₂ einsetzen.
x - 2ww^Tx = x - 2(x+σe₁)· (||x||² + σe₁x)/2(||x||²+σe₁x) = x - (x+σe₁) = σe₁.

Edit: Das macht Sinn, oder?

Comments

Sorry, das sieht richtig unübersichtlich aus.

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Was ist denn jetzt Deine Frage?

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Wollte nur sichergehen, ob ich hier richtig gerechnet habe.

Answer 1

Ich habe dasselbe Ergebnis, bis auf ein Minus ganz am Ende?

Comments

Ja, stimmt. Das fällt mir in letzter Zeit häufig auf, dass ich bei -(a+b) immer die Minusklammer vergesse. Danke für den Hinweis!

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Für einen Beweis fehlen da noch einige Zwischenschritte und Begründungen.