Entwickeln Sie (1 + 0,001)^{-4}. Verwenden Sie die nullte und ineiner zweiten Rechnung ... Prozentuale Abweichung, wie ?

Question

ich stehe vor einem Problem. Undzwar lautet das Kapitel aus dem Tipler Binomialentwicklung.

Also kommen wir zu Aufgabe und zum eigentlichen Problem:

Entwickeln Sie (1 + 0,001)^{-4}. Verwenden Sie die nullte und in einer zweiten Rechnung zusätzlich die erste Ordnung der Binomialentwicklung nach Gleichung (1+ x)^n was gerundet 1 + n*x ist für den Betrag von x viel kleiner als 1 also für |x| << 1.

Berechnen Sie die Werte mit einem Taschenrechner und geben Sie die prozentuale Abweichung zwischen beiden Werten an.

Also ich weiss hier nicht wie ich die prozentuale Abweichung berechnen soll. Also wenn ich das Binom (1 + 0,001)^{-4} mit dem binomischen Lehrsatz nach der nullten Ordnung entwickel sieht das so aus glaub ich: (1 + 0,001)^{-4} = 1 und nach der ersten Ordnung wäre ich bei (1 + (x=0,001))^{(n =-4)} = 1 + n*x = 1 + -4*0,001 = 0,004. Wenn ich einen Fehler gemacht habe, könnt ihr mich gerne korrigieren.

VG :)

Answer 1

Hallo

dein x ist doch 0,001, also n*x=-4*0.001=-0,004

1-0,004=0,996 TR Ergebnis = 0,9960099

Differenz 0,00001 gerundet

 Prozentualer Fehler absoluter Fehler durch Wert, da Wert etwa 1 ist der prozentuale Fehle also 0,001% (Fehler gibt man immer gerundet an)

Gruß lul

Comments

stimmt hab das irgendwie mit den grenzen von - nach + verhauen :D

Ok wenn ich jetzt laut meinem Taschenrechner 1-4*0,001 ausrechne komme ich auf 0,996. Wie du da auf 0,9960099 kommst ist mir ein Rätsel und wenn ich erste Ordnung minus zweite Ordnung rechne also die Differenz zwischen erster und zweiter Ordnung berechne komm ich auf dann auf 1-0,996 und da bin ich bei 0,004. Also wäre doch dann der Fehler 0,4 % oder?

VG :)

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Im Buch steht in der Lösung 0,96 und 0,99677 und << 1%

Das mit 1% ist ja wegen dem Betrag mit |x| muss ja sehr viel kleiner sein als 1 also |x| << 1. Ich denke daher kommt das mit kleiner 1%. Wenn ich von beiden die Differenz bilde dann komm ich auf 0,03677 dann wäre die prozentuale Abweichung ja 36,77% oder? aber wie komme ich hier auf 0,99677

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sorry im Buch steht 0,996, 0,99600 und nahe 0% hatte mich in der Zeile vertan.

Jetzt weiss ich nicht woher die 0,99600 her kommt.

Also wenn ich die Differenz von beiden ausrechne, dann komme ich auf 0 ist ja auch logisch.

VG :)

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Ne alles klar du hattest recht. Ich muss hier die Differenz mit der Ausgangsituation machen also Differenz von (1 + 0,001)^{-4} mit nullter und erste Ordnung von (1 + 0,001)^{-4} und da kommt man dann auf nahe 0 %. Genau 0,00001 = 0,001%.

Ich dachte ich müsste hier erstmal die nullte Ordnung und danach die erste Ordnung bestimmen und daraus dann die Differenz. Wenn du mir jetzt noch sagen könntest warum man das mit der Ausgangssituation also mit (1 + 0,01)^{-4} macht anstatt mit der nullten Ordnung allein, dann würde ich dir den Stern geben :D

VG :)

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Hallo

 Na, ja in 0ter Ordnung ist (1+0,001)^{-4} einfach 1  der Prozentuale Fehler auch schon klein, aber eigentlich nicht interresant. Du willst aber wissen, wie groß bzw, klein der Fehler ist, wenn du eine Ordnung höher gehst. Dabei siehst du, dass du ohne TR 1/1,001^4 schnell sehr genau berechnen kannst. Das ist das Ziel der Aufgabe, was du ja auch statt mit den 0,001 auch mal mit 0,01 oder 0,1 ausrechnen kannst.

Gruß lul

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jetzt bin ich verwirrt. In der Aufgabe steht doch Entwickeln Sie (1+0,001)^{-4}. Verwenden Sie die "nullte" und in einer "zweiten Rechnung" zusätzlich die erste Ordnung der Binomialentwicklungnach der Gleichung (1 + x)^n gerundet 1 + n*x für |x| << 1. Dann berechnen Sie die Werte mit einem Taschenrechner und geben Sie die prozentuale Abweichung "zwischen den beiden Werten an".

Da steht doch erste Rechnung ist doch die Binomialentwicklung nach der nullten Ordnung dann muss ich eine "zweite" Rechnung mit zusätzlich der ersten Ordnung machen. Also ich würde das so machen: (1 + x)^n mit (1 + 0,001)^{-4} = 1 <- nullte Ordnung und dann wenn ich jetzt noch "zusätzlich" die erste Ordnung mit berücksichtige, dann würde sich doch (1 + x)^{n}  mit (1 + 0,001)^{-4} = 1 + (-4 * 0,001) <- erste Ordnung, zu 1 - 0,004 = 0,996 ergeben. Dann müsste ich doch laut der Aufgabenstellung (nullte und erste Ordnung), die Differenz beider Ergebnisse bilden, was hier 1 - 0,996 = 0,004 wäre, in Prozent wäre das doch dann 0,4 %.

Also deins ist auf jeden Fall richtig aber die Aufgabenstellung sagt doch "differenz aus nullter und erster Ordnung" hmmm. Wenn ich die Aufgabe lese, finde ich es so ziemlich verständlich aber dann hinzugehen und die Differenz aus (1 + 0,001)^{-4} und 0,996(erster Ordnung) zu berechnen, lese ich nicht aus dem Text heraus, achja mit "beiden Werte" ist doch die Abweichung von nullter und erster Ordnung gemeint oder?

VG :)

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Oder ist das eher so zu verstehen:

Schritt 1:

Nullte Ordnung -> (1 + 0,001)^{-4} = 1

Ausgang           -> (1 + 0,001)^{-4} = TR: 0,99600998
--------------------------------------------------------------------
Differenz aus nullter Ordnung und dem mit TR ermitteltem Wert.
Also: nullte Ordnung - Ausgang : 1 - 0,99600998 = 0,00399002 = 0,3 %

Schritt 2:

erste Ordnung -> (1 + x=0,001)^{n=-4} = 1 + n * x = 1 + (-4 * 0,001) = 0,996

Ausgang          -> (1 + 0,001)^{-4} = TR: 0,99600998
--------------------------------------------------------------------
Differenz aus erster Ordnung und dem mit TR ermitteltem Wert
Also : Ausgang - erste Ordnung : 0,99600998 - 0,996 = 0,00000998 gerundet 0,00001 = 0,001 % und die Abweichung ist dann  0,00399002 - 0,00000998 = 0,00398004 = 0,3 %  oder ist die prozentuale Abweichung bereits das davor also jeweils die 0,001 % und die 0,3 %

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Also die Beispiel Aufgabe lautet wie folgt:

Berechne Sie mithilfe der Gleichung (1 + x) ^n gerundet 1 + n * x     für |x| << 1

einen Näherungswert für die Wurzel aus 101.

Problembeschreibung: DIe Zahl 101 legt die Zerlegung in das Binom (100 + 1) nahe. Um einen Näherungswert mithilfe der Binomialentwicklung bestimmen zu können, muss man diesen Ausdruck so umfromen, dass wir ein Binom bestehend aus 1 und einem Term kleiner als 1 erhalten.

Lösung:
Schritt 1. Schreiben Sie die Wurzel als (101)^{1/2}; nun können Sie einen Ausdruck der Form (1 + x)^{n} herleite, in dem x viel kleiner als 1 ist:

Schritt 2. Verwenden SIe nun Gleichung   mit n = 1/2
und x = 0,01 und berechnen Sie die Entwicklung von (1 + 0,01)^{1/2} :

Schritt 3. Wegen |x| << 1 ist zu erwarten , dass der Betrag der Terme von zweiter und noch höherer Ordnung erheblich kleiner ist als der Betrag des Terms erster Ordnung. Bestimmen Sie einen Näherungsausdruck für das Binom a) nur mit den Termen nullter und erster Ordnung und b) mit den ersten beiden Termen:

a) Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibt sich
b) Berücksichtigen wir zusätzlich noch den Term zweiter Ordnung, so haben wir
Schritt 4. Setzen Sie diese Ergebnisse in die Gleichung von Schritt 1 ein:
Bei Berücksichtigung nur der Terme nullter und erster Ordnung ergibt sich

Bei zusätzlicher Berücksichtigung der Terme zweiter Ordnung ergibst sich


Plausibilitätsprüfung: Es ist zu erwarten, dass unsere Antwort 0,001 % genau ist. Der von (101)^{1/2} beträgt, auf acht Stellen agegeben, 10,049876. Der Unterschied zu 10,050000 beträgt nur 0,000124, der Näherungswert weicht als erst in der vierten signifikanten Stelle ab
(1:10000). Zu 10,049875 tritt erst in der siebten signifikanten Stelle eine Differenz auf (1:10000000).

Das was ich nicht verstehe ist Schritt 4, hier soll Schritt 3 also die Ergebnisse der Entwicklungen der nullten und der ersten Ordnung in Schritt 1 eingesetzt worden sein.

Die Plausibilitätsprüfung verstehe überhaupt nicht also wie man auf 0,001 % kommt, die signifikanten Stellen bestimmt, der Näherungswert 0,000124 und halt die Verhältnisse (1:10000). Da der Beitrag vorhin mit dem Bild wohl Uhrheberrechtliches Material enthielt, habe ich nochmal den Inhalt niedergeschrieben. Sorry für die unanämlichkeiten. Hoffe mir kann bei meinen Problemen geholfen werden.

VG :)

Answer 2

Zu berechnen ist:

(101)^{1/2}=(100+1)^{1/2}

Um die Näherungsformel zu verwenden

muss man das in die Form (1+(kleiner term))^{1/2} bringen, dazu zieht man den Faktor 100 aus der Wurzel heraus:

(100+1)^{1/2}=(100*(1+0.01))^{1/2}=10*(1+0.01)^{1/2}

Der Term (1+0.01)^{1/2} wird nun einmal in linearer Näherung und in quadratischer Näherung berechnet. Diese Ergebnisse werden einfach eingesetzt:

10*(1+0.01)^{1/2}≈10*1.005=10.05 

bzw. 10*(1+0.01)^{1/2}≈10*1.0049875

Der TR liefert 10.0498756

Die relative Abweichung ist nun (für die Näherung erster Ordnung):

|10.05 -10.0498756 |/10.0498756 ≈ 0.0000124

Comments

Hammer Danke :)
Sorry nochma für das Bild, jedoch hatte ich das Gefühl, das mein Frage irgendwie missverstanden war. Natürlich Lösung ist korrekt und alles aber ....

 Vielen Dank und :)