Finden Sie eine explizite Formel für die rekursiv definierte

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). (a) Finden Sie eine explizite Formel für die rekursiv definierte
Folge:
$a_{1}=5, \quad a_{n+1}=(n+3) \cdot a_{n} \text { für } n \in \mathbb{N} .$

Problem: Ich habe bereits eine Struktur in der rekursiven Folge gefunden, weiß aber nicht, wie ich das in die explizierte Formel integrieren soll. Ich hätte an der geometrischen Folge gedacht, aber es wird ja nicht immer dieselbe Zahl multipliziert, dann hätte ich an die Fakultät gedacht, aber das macht wiederum auch keinen Sinn.

Hier ist mein Ansatz:

Text erkannt:

a.) $a_{1}=5, a_{n+1}=(n+3) \cdot a_{n}$ für $n \in \mathbb{N}$
$\begin{array}{l} n=0 \\ a_{1} \end{array}=5$
expliziofte formel:

Comments

Beachte bei deinen Aufzeichnungen bitte, dass der Anfang bei $n=1$ ist und nicht bei $n=0$.

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Aber mein Start beginnt ja bei a(n)=5 und für n muss ich doch 0 einsetzen (für den Start), damit ich mein a1 rausbekomme

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Nein, wenn $a_n=a_1=5$, dann ist logischerweise $n=1$. Sonst wäre ja $a_0=5$. Um auf $a_1=5$ zu kommen, setzt du gar nichts ein, denn der Startwert wird festgelegt und hat mit der Rekursionsformel erst einmal nichts zu tun.

Um dann auf $a_2$ zu kommen, setzt du entsprechend $n=1$, denn die Rekursionsformel lautet ja $a_{n+1}=...$ Das ergibt mit $n=1$ dann eben das $a_2$.

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aber die formel ist ja an+1, wenn man für n = 1 einsetzt, dann haben wir a1+1 und das wäre a2, aber wenn wir für n = 0 einsetzt, dann haben wir a0+1, was a1 ergibt

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Wenn du $n=0$ einsetzt, hast du $a_1=a_{0+1}=(0+3)a_0=3a_0=\ ?$ Was ist denn $a_0$?

Lies nochmal meinen Kommentar: Der Startwert wird festgelegt und nicht mit Hilfe der Rekursionsformel bestimmt.

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Also wäre für a2 n=2?

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Nein, $n=1$, denn $a_{n+1}=a_{1+1}=a_2$.

Versuche das bitte nachzuvollziehen. Mathematische Notation ist unheimlich wichtig. Du musst du da auch wirklich nur an das halten, was da steht.

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Achso, also n = 0 ist garnicht definiert, weil der Startwert fest ist?

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Genau, bei rekursiven Folgen ist der Startwert immer festgelegt. Es kann auch mehrere Startwerte geben. Vergleiche dazu mal die folgende rekursive Folge:

$F_0=0,\ F_1=1$

$F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$.

Um also $F_2$ zu berechnen, beginnt man bei dieser Folge tatsächlich mit $n=2$, da die Folge über $F_n$ definiert ist.

Alternativ kann man dieselbe Folge auch wie folgt definieren:

$F_1=0,\ F_2=1$

$F_{n+1}=F_n+F_{n-1}$.

Hier berechnet man $F_3$ ebenfalls über $n=2$.

Es ginge aber auch:

$F_1=0,\ F_2=1$

$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.

Hier berechnet man $F_3$ mit $n=1$.

Mache dir einmal die Unterschiede klar (auch bei den Startwerten). Es geht hier nur um die Notation. Es ist in allen drei Fällen dieselbe Folge, nämlich die Fibonacci-Folge.

Answer 1

5 * 4 = 20
20 * 5 = 100
100 * 6 = 600
600 * 7 = 4200

Ich würde einen faktoriellen Ansatz vermuten

a(n) = 5/6·(n + 2)!

Comments

wie kommst du auf die 6?

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Schau dir die Folge

a(n) = (n + 2)! einfach mal an.

6, 24, 120, 720, 5040,...

Dann sieht man schnell, dass wohl nur ein geschickter Faktor fehlt, um das bei a1 auf 5 zu bringen.

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Ah oki, ist sonst alles formal korrekt?

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Ah oki, ist sonst alles formal korrekt?

Ansonsten sieht das prima aus. Wir persönlich haben aber nie immer noch n = ... dazu geschrieben. Das geht doch aus den Folgegliedern an hervor.
Übrigens warst du ja schon auf dem richtigen Ansatz. Ich verstehe nur nicht warum du den als sinnlos empfunden hast.

Also einfach wie folgt kurz notieren

a(1) = 5 ; a(n + 1) = (n + 3) * a(n)

a(1) = 5
a(2) = (1 + 3) * 5 = 20
a(3) = (2 + 3) * 20 = 100
a(4) = (3 + 3) * 100 = 600
...
a(n) = 5/6 * (n + 2)!

Answer 2

Schreibe $a_n=(n+2)\cdot a_{n-1}=(n+2)\cdot ...\cdot a_{n-2}= ... = ... \cdot a_1$ und verwende Fakultät für den Vorfaktor.

Answer 3

1. Drücke a₂ durch a₁ aus.

2. Drücke a₃ durch a₂ aus und dann a₂ durch a₁ aus, also letztlich a₃ durch a₁ aus.

3. Drücke a₄ durch a₃ aus und dann a₃ durch a₂ aus und dann a₂ durch a₁ aus, also letztlich a₄ durch a₁ aus.

4. Drücke a_n in dieser Weise durch a₁ aus.