Einfache Bruchungleichung bzw. Quadratische Ungleichung

Question

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Einfache Bruchungleichung bzw. Quadratische Ungleichung
\( \begin{array}{l} \frac{31-n^{2}}{27-6 n}<3 \\ 18 n<n^{2}+50 \end{array} \)
\( \mathrm{n}<4 \) oder > 14. Allerdings trifft nur ersteres zu, während bei letzterem eigentlich \( \mathrm{n} \leq 14 \mathrm{zu} \) richtigen Ergebnissen führt. Was mache ich falsch bzw. wo ist mein Denkfehler?

Comments

Vermutlich hast Du nicht berücksichtigt, dass sich das Richtungszeichen umdreht, wenn Du mit negativen Zahlen multiplizierst

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Text erkannt:

Erstmal Danke für alle Antworten. Ich bin zur Zeit nicht ganz auf dem Posten, daher die späte Antwort. Es handelt sich hier wieder mal um Etwas aus einem historischen Text. Es geht darum, \( 9 y^{2} \) \( +31-27 y \) zu einem Quadrat zu machen, und zwar mit der Hilfswurzel \( 3 y-n \). Dabei muß n so bestimmt werden, daß \( y \in \mathbb{B} \). Im Quelltext wird mit \( 6 n y>27 y \) und \( y=\frac{n^{2}-31}{6 n-27} \) gearbeitet. Das ergibt per se \( \mathrm{n}>5 \). Also wie wenn ich schriebe \( 0<\frac{n^{2}-31}{6 n-27}<3 \). Als 2 . habe ich \( \mathrm{n}^{2}+50<18 \mathrm{n} \). Das löst er dann etwa so:
\( \begin{array}{l} \mathrm{n}^{2}+50+81<18 \mathrm{n}+81 \\ (\mathrm{n}-9)^{2}<31 \\ \mathrm{n}-9<\sqrt{31}=5 \frac{7}{12} \\ \mathrm{n}<15 \text { oder } \leq 14 \end{array} \)

Die 2. Lösung wäre \( 9-\mathrm{n}<\sqrt{31} \) und \( 4 \frac{5}{12}<\mathrm{n} \), also \( 5<\mathrm{n} \), z.B. 6 .
Gewählt wird dann \( n=7 \). Damit sind die Forderungen erfüllt und \( y=\frac{5}{6} \). Womit freilich \( 3 x-7 \) für sich negativ wäre. Bei \( 3 x+n \) wiederum wäre \( y=\frac{31-n^{2}}{27+6 n} \) und einmal \( n \leq 5 \). Aber \( \mathrm{y}<3 \) führt auf \( 50<n^{2}+18 n \), ein nicht vorkommender Gleichungstyp. Löste ich die Gleichung mit den entsprechenden Fallunterscheidungen, dann ist für \( 27+6 n>0 n>-4 v<14 \). Letzteres ergäbe aber wieder \( 27+6 n<0 \) und fiele dann ja wohl wieder weg. Für \( 27+6 n<0 \) ist \( n<-4 \vee n>-14 \).

Answer 1

(31 - n^2)/(27 - 6·n) < 3

Fall 1: 27 - 6·n > 0 --> n < 4.5

31 - n^2 < 3(27 - 6·n) --> n < 9 - √31 ≈ 3.432 (oder n > √31 + 9)

Fall2: 27 - 6·n < 0 --> n > 4.5

31 - n^2 > 3(27 - 6·n) --> n < 9 + √31 ≈ 14.568 (oder 9 - √31 < n)

Lösungen:

n < 9 - √31 ≈ 3.432 oder 4.5 < n < √31 + 9 ≈ 14.568

Comments

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D.h. das \( n>14 \) des 1 . Falles fällt weg? Warum? Weil dann \( 27-6 n<0 \) ?

Wenn ich nach der historischen Vorlage gehe, dann muß quasi \( 0<\frac{31-n^{2}}{27-6 n}<3 \) gelten. Und quadr. Gleichungen werden da zwar mit Ergänzung gelöst, aber nur eine Lösung, in diesem Falle \( \sqrt{31}+9 \), ermittelt. D.h. er rechnet sozusagen nicht mit \( \sqrt{31}<9-\mathrm{n} \). Die erste Lösung ist aber nach der obigen Feststellung ausgeschlossen, \( 27-6 \mathrm{n}<0 \) sowieso. Für \( \sqrt{31} \) nehme ich dabei einfach 5, 6. Ansonsten kann man auch einfache Näherungswerte wie \( 5 \frac{3}{5} \) oder \( 5 \frac{7}{12} \) verwenden. Dann wäre die 2. und einzig mögliche Lösung \( 5 \frac{7}{12}<n-9 \) und \( n<4 \frac{5}{12} \), also \( n<4 \).
Ansonsten könnte man noch aus \( 27-6 \mathrm{n}>0 \) ableiten, daß \( 4 \frac{1}{2}>n \), aber 4 ist zu groß und wenn ich \( \sqrt{31}>n^{2} \) als \( 5 \frac{7}{12}>n \) nehme, weil \( a^{2} \) für mich das Quadrat aus a und nicht auch aus - a ist, dann ergibt eine Probe leicht, daß \( n \) immer noch \( <4 \) sein muß.
In der Vorlage(Diophant \( V, 17 \) ) wird das nicht ausgeführt und meine Überlegungen sind teilweise auch hypothetischer Natur, weil vieles im Text nicht gesagt wird. Mir geht es dabei nicht nur um die Aufgabenlösung, sondern ebenso um greifbare Erweise für ein ausschließliches Arbeiten im Bereich der gebrochenen, nicht der rationalen Zahlen. Vgl. meine Antwort unten.

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Ich bin mir nicht sicher, daß ich verstehe, was Du meinst. Es würde helfen, wenn Du das Original Problem und keine Ableitung davon einstellen würdest.

Hier ein Diagramm für Deine allererste Ungleichung. Vielleicht wird es dann klarer.

Du suchst die Werte, für die die Funktion negativ ist. Du kannst erkennen, dass dies links von 3,43 und links von 14,57 ist. Den Wert 27/6 muß man natürlich ausschließen, da dann der Nenner Null würde, daher die Polstelle dort.

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Wenn ich nach der historischen Vorlage gehe, dann muß quasi \( 0<\frac{31-n^{2}}{27-6 n}<3 \) gelten.

Warum? Es gilt z.B. (31 - 5^2)/(27 - 6·5) = -2

Du meinst vermutlich im Kontext, dass Bruchteile früher nicht negativ sein konnten.

Ob du jetzt im Bereich der rationalen oder gar ganzen Zahlen rechnen möchtest, bleibt dir überlassen. Dann sind entsprechende Gleichungen nicht exakt, sondern eben nur näherungsweise.

Wenn n eine natürliche Zahl sein soll, dann wird das ganze eh noch viel einfacher.

n < 3.432 oder 4.5 < n < 14.568 wird dann einfach zu n ≤ 3 oder 5 ≤ n ≤ 14

Answer 2

\(  18 n<n^{2}+50\)

\(  n^{2}+50>18 n|-18n\)

\(  n^{2}-18n+50>0|-50\)

\(  n^{2}-18n>-50\)  quadratische Ergänzung \(+ (\frac{18}{2})^2 \)

\(  n^{2}-18n+ (\frac{18}{2})^2>-50+ (\frac{18}{2})^2\)  2. Binom

\(  (n-\frac{18}{2})^2>31|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(  n-9>\sqrt{31}\)

\(  n_1>9+\sqrt{31}≈14,58\)

2.)

\(  n-9<\red{-}\sqrt{31}\)

\(  n_2<9-\sqrt{31}≈3,43\)

Lösungen:  \( n_1>9+\sqrt{31}\)   oder   \(n_2<9-\sqrt{31}\)

Comments

Frage völlig ignoriert!

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Ich habe  \(  18 n<n^{2}+50\) als eigenständige Aufgabe angesehen!

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Danach wurde aber überhaupt nicht gefragt!

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Sei froh, dass du ein Schnellblicker bist!

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Ich verstehe nicht, was Du nach (n-9)^2 > 31 gemacht hast. wie kommst Du auf 2)? Welche Rechenregel ist das?

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Bei 2) liegt ein Druckfehler vor! Vielleicht kann Moliets das mal korrigieren und erklären.

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Gut, dass Du das genau prüfst, da ist ein Fehler drin.
Eine saubere Umstellung wäre: \((n-9)^2>31  \iff |n-9| > \sqrt{31}\iff n-9 >\sqrt{31} \lor n-9<-\sqrt{31}\). Zahlengerade benutzen (\(|n-9|\) ist der Abstand von \(n\) zu \(9\) auf der Zahlengeraden).

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Danke! Durch die Nachfrage von matthes habe ich auch gemerkt, dass das - bei 2.) fehlt!

In meiner Antwort habe ich es verbessert.

Answer 3

Soll \(n\in\mathbb{N}\) gelten? Dann musst du beachten, dass für \(n\geq 5\) der Ausdruck \(27-6n<0\) ist und dann entsprechend

\(31-n^2>3(27-6n)\)

gilt, da sich bei Multiplikation mit negativen Zahlen das Ungleichzeichen umdreht. Dann gilt nämlich

\(18n>n^2+50\).

Answer 4

Du solltest immer das eigentliche Problem schildern und keine von Dir vermuteten Zusammenhänge. In einer der Kommentare schreibst Du:

Es handelt sich hier wieder mal um Etwas aus einem historischen Text. Es geht darum, \( 9 y^{2} +31-27 \mathrm{y} \) zu einem Quadrat zu machen, und zwar mit der Hilfswurzel \( 3 \mathrm{y}-\mathrm{n} \).

Wenn das der Kern des Problems ist, dann ist das etwas, was unter dem Begriff quadratische Ergänzung läuft.

Hier ein einfaches Beispiel, bevor ich zu Deiner Aufgabe komme.

Man möchte den folgenden Ausdruck als Quadrat schreiben:

\(x^{2}+6 x+5\)

Zuerst die quadratische Ergänzung bestimmen: \( \left(\frac{6}{2}\right)^{2}=3^{2}=\mathbf{9} \)
Dann Einfügen und wieder Abziehen, damit sich nichts ändert:
\( x^{2}+6 x+\mathbf{9}-\mathbf{9}+5 \)
Binom bilden und zusammenfassen
\( (x+3)^{2}-4 \)

fertig.

Bei Deiner Aufgabe nun analog:

\( 9 y^{2}-27 y+31 \)
Ergänzung einfügen:
\( (3 y)^{2}-27 y+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}-\left(\frac{9}{2}\right)^{2}+31 \)
Binom bilden:
\( \left(3 y-\frac{9}{2}\right)^{2}-\frac{81}{4}+31 \)
Zusammenfassen:
\( \left(3 y-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{43}{4} \)

Dein gesuchtes n ist also 9/2.