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Aufgabe: a) In Fig. 1 sind ein Ausschnitt der Ebene E1 und der Punkt P dargestellt. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E1.
b) Gegeben sind die Ebene
E2: 2x + 3y - 4z= 12 und der Punkt
Q(5|8|-9). Bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F von Q auf E2


Problem/Ansatz:

Die Punkte, die bei a) verwendet werden müssen, sind S1 (3|0|0) , S2 (0|3|0) , S3 (0|0|4) und P(3|5|7).

Kann mir jemand helfen?

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a) Wie lautet die Gleichung der Ebene E1?

b) Wo schneidet k·(234) \begin{pmatrix} 2\\3\\-4 \end{pmatrix} (589) \begin{pmatrix} 5\\8\\-9 \end{pmatrix} =x \vec{x}  die Ebene E2?

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E1: blob.png

Text erkannt:

(300)+s(330)+r(304) \left(\begin{array}{l}3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)

blob.png

Text erkannt:

g : x=(357)+t(111) g: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)


das hab ich als Gleichungen für die Ebene und für die gerade. Jetzt einfach gleichsetzen oder?

Die Darstellung von E1 ist keine Gleichung. Wie berechnet man den Lotvektor auf E1?

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image.jpg

Text erkannt:

Achsenabschnittsform
E1 : x3+y3+z4=1E1 : 4x+4y+3z=12 \begin{array}{l} E_{1}: \frac{x}{3}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}=1 \\ E_{1}: 4 x+4 y+3 z=12 \end{array}

Abstandsgleisung
d=4x+4y+3z12y2+42+32 d=\frac{4 x+4 y+3 z-12}{\sqrt{y^{2}+4^{2}+3^{2}}}

Punkt P P einsetzen
d=43+45+371241=4141=416,403LE \begin{aligned} d=\frac{4 \cdot 3+4 \cdot 5+3 \cdot 7-12}{\sqrt{4 \cdot 1}} & =\frac{41}{\sqrt{41}}=\sqrt{41} \\ & \approx 6,403 \mathrm{LE} \end{aligned}

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Schau Mal ob P nicht die Koordinaten (4,5,7) hat?

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