Wendepunkt bestimmen und deuten

Question

Aufgabe:

Die Funktion \( T \) ist gegeben durch die Funktionsgleichung \( T(t)=-\frac{1}{12}\left(t^{4}-\frac{43}{3} t^{3}+63 t^{2}-87 t+\frac{112}{3}\right) \) mit der Definitionsmenge \( D_{T}=[0 ; 8] \) Runden Sie Ihre Ergebnisse gegebenenfalls auf zwei Nachkommastellen.

Für \( t \in] 1 ; 5,3 \) [ befindet sich der Delfin unter Wasser. Ermitteln Sie rechnerisch, ob in diesem Zeitintervall der Betrag der größten Abtauchgeschwindigkeit größer als der Betrag der größten Auftauchgeschwindigkeit ist.

Ich habe jetzt die Wendepunkte berechnet und bewiesen, dass dort ein Wendepunkt vorhanden ist, aber woher weiß ich jetzt was die Auftauch und Abtauchen Geschwindigkeit ist, ich weiß das der WP entweder Ab- oder Abtauchgeschwindigkeit aber woher weiß ich welcher Wert was ist?

Comments

Vermutlich ist T die Tiefe abhängig von der Zeit t, also T ist Weg, Einheit z.B. Meter. Die Geschwindigkeit ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit, also die erste Ableitung von T, Einheit z.B. meter/sekunde.

Es geht also eigentlich um T‘, nennen wir diese mal spaßeshalber kurz S.

Du sollst jetzt von S ganz normal max und min in dem angegebenen Intervall bestimmen und die Beträge der Funktionswerte von S an diesen Stellen vergleichen (natürlich wäre das aus Sicht von T die zweite Ableitung, aber vielleicht ist es so einfacher sich vorzustellen, um was es geht).

Answer 1

T(t) = - 1/12·(t^4 - 43/3·t^3 + 63·t^2 - 87·t + 112/3)

T(t) = - 1/12·t^4 + 43/36·t^3 - 21/4·t^2 + 29/4·t - 28/9

T'(t) = - 1/3·t^3 + 43/12·t^2 - 21/2·t + 29/4

T''(t) = - t^2 + 43/6·t - 21/2 = 0 --> t = 43/12 - √337/12 ≈ 2.054 ∨ t = 43/12 + √337/12 ≈ 5.113

Da beide Nullstellen der zweiten Ableitung, Nullstellen mit Vorzeichenwechsel sind, hat man an beiden Stellen wirkliche Wendepunkte.

T'(43/12 - √337/12) ≈ -2.088 (größte Abtauchgeschwindigkeit, da der Wert negativ ist)

T'(43/12 + √337/12) ≈ 2.686 (größte Auftauchgeschwindigkeit, da der Wert positiv ist)

Der Betrag der größten Auftauchgeschwindigkeit ist größer als der Betrag der größten Abtauchgeschwindigkeit.

Skizze

~plot~ - 1/12·(x^4-43/3·x^3+63·x^2-87·x+112/3);{2.054|-1.502};{5.113|-0.586};[[0|8|-4|2]] ~plot~

Comments

Kann man sich das auch so merken, das Negative Zahl = etwas sinkt also Abtauchen

Und positiv etwas steigt?

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Ja. Überlege dir einfach, was es bedeutet, wenn man aich in Richtung positiver oder negativer y-Achse bewegt.

Ich habe dir noch eine Skizze eingefügt, damit du es besser verstehst.

Theoretisch könntest du noch die Ränder des gegebenen Intervalls [1 ; 5.3] mit untersuchen. Das kann man sich aber sparen, wenn man eine Skizze gegeben hat.