In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Einwohnerentwicklung in zwei Dörfern A und B. Am 1. Januar 2010 hatte Dorf A 8154 Einwohner, wobei seit 1. Januar 2010 die Zahl der Einwohner pro Jahr um 2.4% zunimmt. Am 1. Januar 2015 hatte Dorf B 11‘234 Einwohner, wobei seit 1. Januar 2015 die Zahl der Einwohner pro Jahr um 1.5% abnimmt.

a) In welchem Jahr wird Dorf B 10‘000 Einwohner haben?

b) In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

c) Wie gross müsste das jährliche prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 sein, damit es 5 Jahre später, d.h. am 1. Januar 2030, wieder die gleiche Einwohnerzahl wie am 1. Januar 2015 hätte?

Problem/Ansatz:

Aufgabe "a)" habe ich gelöst, aber bei "b)" und "c)" weiss ich nicht weiter ... Bitte um Ihre Hilfe. Vielen Dank im Voraus

Comments

zeig 'mal deine Berechnung für a), dann klären wir den Rest.

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Bei c (grüne Linie) wirst Du auf etwa 3,07 % p. a. kommen.

Die grüne und gelbe Linie sind für a), die blaue und grüne Linie für b) und die grüne und rote Linie für c). Die auf der t-Achse eingetragenen Markierungen sind jeweils der Jahresanfang. Die Terme im Plot-Befehl sind in der Reihenfolge blaue, gelbe, grüne, rote Linie. Die grüne Linie ist, in beiden Abschnitten, linksgekrümmt, was man auf der Graphik nicht gut sieht.

Answer 1

b) In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

Gleichsetzen, so wie eigentlich immer wenn Schnittpunkte berechnet werden sollen.

c) Wie gross müsste das jährliche prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 sein, damit es 5 Jahre später, d.h. am 1. Januar 2030, wieder die gleiche Einwohnerzahl wie am 1. Januar 2015 hätte?

Berechne die Bevölkerungszahlen am 1. Januar 2025.

Stelle damit neue Exponentialfunktionen a(x) und b(x) auf, wobei in b der Wachstumsfaktor q unbekannt ist.

Löse die Gleichung a(5) = b(5).

Jährliches prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 muss (q-1)·100 Prozent sein.

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Vielen Dank

bei "b)": es war mir nicht klar, dass die Aufgabe unabhängig vom "a.)" ist, sonst weiss ich wegen des Gleichsetzungsverfahren

bei "c)": versuche ich Ihre Idee zu folgen ...

Dankeschön, Freundliche Grüsse

Answer 2

a) In welchem Jahr wird Dorf B 10000 Einwohner haben?

11234·(1 - 0.015)^x = 10000 → x = 7.699 → Im Jahr 2022

b) In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

8154·(1 + 0.024)^(5 + x) = 11234·(1 - 0.015)^x → x = 5.198 → Im Jahr 2020

c) Wie groß müsste das jährliche prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 sein, damit es 5 Jahre später, d.h. am 1. Januar 2030, wieder die gleiche Einwohnerzahl wie am 1. Januar 2015 hätte?

11234·(1 - 0.015)^10·(1 + x)^5 = 11234 → x = 0.03069

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Vielen schönen Dank

bei "b)": es war mir nicht klar, dass die Aufgabe unabhängig vom "a.)" ist, sonst weiss ich wegen des Gleichsetzungsverfahren;

bei "c)": verstehe ich nicht, wie Sie auf die Gleichung kommen?

Danke, Freundliche Grüsse

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c) Wie groß müsste das jährliche prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 sein, damit es 5 Jahre später, d.h. am 1. Januar 2030, wieder die gleiche Einwohnerzahl wie am 1. Januar 2015 hätte?

Von 2015 bis 2025 soll sich das Dorf B ganz normal nach den gegebenen Vorgaben entwickeln. Das Modelliert man mit

11234·(1 - 0.015)^10 = 9658.211788 Bewohner

Ab 2025 soll die Einwohnerzahl mit einem bestimmten Prozentsatz wachsen, sodass man nach 5 Jahren wieder die gleiche Einwohnerzahl wie 2015 hat.

9658.211788·(1 + x)^5 = 11234

Ohne das Zwischenergebnis lässt sich das auch in einer Gleichung schreiben.

11234·(1 - 0.015)^10·(1 + x)^5 = 11234

Lösen muss man das jetzt einfach nach x. Du kannst dazu auch die einzelnen Gleichungen verwenden, wenn Dir das leichter fällt.

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Danke sehr,

aber wie bilde ich die einzelnen Gleichungen?

Das ist doch das Herz der Lösung!

Bitte zeigen Sie mir, wie Sie das GLS aufstellen, um Ihrer letzten Gleichung aufzustellen!

Besten Dank im Voraus

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Es ist kein Gleichungssystem.

Verstehst du folgende Rechnung

11234·(1 - 0.015)^10 = 9658.211788 Bewohner

und was man damit genau berechnet? Bzw. wenn du die Rechnung nicht verstehst, was ist daran unklar?

Also im Jahr 2025 existieren nur noch etwa 9658 Bewohner. Aber jetzt soll die Bevölkerung ja wieder wachsen, sodass man nach 5 Jahren wieder die Anfangszahl der Bewohner hat.

Verstehst du also folgende Gleichung

9658.211788·(1 + x)^5 = 11234

Wenn du die Gleichung nicht verstehst, was ist daran unklar?

Das beides ist im Prinzip immer nur das Aufstellen eines exponentiellen Wachstums in der Form

B_t = B₀·(1 ± p)^t