In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Einwohnerentwicklung in zwei Dörfern A und B. Am 1. Januar 2010 hatte Dorf A 8154 Einwohner, wobei seit 1. Januar 2010 die Zahl der Einwohner pro Jahr um 2.4% zunimmt. Am 1. Januar 2015 hatte Dorf B 11‘234 Einwohner, wobei seit 1. Januar 2015 die Zahl der Einwohner pro Jahr um 1.5% abnimmt.

a) In welchem Jahr wird Dorf B 10‘000 Einwohner haben?

b) In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

c) Wie gross müsste das jährliche prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 sein, damit es 5 Jahre später, d.h. am 1. Januar 2030, wieder die gleiche Einwohnerzahl wie am 1. Januar 2015 hätte?

Problem/Ansatz:

Aufgabe "a)" habe ich gelöst, aber bei "b)" und "c)" weiss ich nicht weiter ... Bitte um Ihre Hilfe. Vielen Dank im Voraus

Comments

zeig 'mal deine Berechnung für a), dann klären wir den Rest.

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Bei c (grüne Linie) wirst Du auf etwa 3,07 % p. a. kommen.

Die grüne und gelbe Linie sind für a), die blaue und grüne Linie für b) und die grüne und rote Linie für c). Die auf der t-Achse eingetragenen Markierungen sind jeweils der Jahresanfang. Die Terme im Plot-Befehl sind in der Reihenfolge blaue, gelbe, grüne, rote Linie. Die grüne Linie ist, in beiden Abschnitten, linksgekrümmt, was man auf der Graphik nicht gut sieht.

Answer 1

b) In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

Gleichsetzen, so wie eigentlich immer wenn Schnittpunkte berechnet werden sollen.

c) Wie gross müsste das jährliche prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 sein, damit es 5 Jahre später, d.h. am 1. Januar 2030, wieder die gleiche Einwohnerzahl wie am 1. Januar 2015 hätte?

Berechne die Bevölkerungszahlen am 1. Januar 2025.

Stelle damit neue Exponentialfunktionen a(x) und b(x) auf, wobei in b der Wachstumsfaktor q unbekannt ist.

Löse die Gleichung a(5) = b(5).

Jährliches prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 muss (q-1)·100 Prozent sein.

Answer 2

a) In welchem Jahr wird Dorf B 10000 Einwohner haben?

11234·(1 - 0.015)^x = 10000 → x = 7.699 → Im Jahr 2022

b) In welchem Jahr wird Dorf A gleich viele Einwohner wie Dorf B haben?

8154·(1 + 0.024)^(5 + x) = 11234·(1 - 0.015)^x → x = 5.198 → Im Jahr 2020

c) Wie groß müsste das jährliche prozentuale Wachstum im Dorf B ab 1. Januar 2025 sein, damit es 5 Jahre später, d.h. am 1. Januar 2030, wieder die gleiche Einwohnerzahl wie am 1. Januar 2015 hätte?

11234·(1 - 0.015)^10·(1 + x)^5 = 11234 → x = 0.03069