Aloha :)
zu a) Die Abbildungsmatrix \(A_{BE}^f\) erwartet Eingangsvektoren mit Koordinaten bezüglich der Basis \(B\) und liefert Ausgangsvektoren mit Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(E\). Die Abbildungsmatrix enthält die Bilder der Basisvektoren als Spaltenvektoren. Hier sind die Bilder der Basisvektoren als Kootdinaten bezüglich der Standardbasis \(E\) bereits gegeben:$$f(\vec b_1)=\begin{pmatrix}1\\4\\-7\end{pmatrix}_E\quad;\quad f(\vec b_2)=\begin{pmatrix}5\\3\\6\end{pmatrix}_E\quad;\quad f(\vec b_3)=\begin{pmatrix}17\\17\\4\end{pmatrix}_E$$Damit lautet also die gesuchte Abbildungsmatrix:$$A_{BE}^f=\left(\begin{array}{rrr}1 & 5 & 17\\4 & 3 & 17\\-7 & 6 & 4\end{array}\right)$$
zu b) Die Abbildungsmatrix \(A_{EE}^f\) erwartet Eingangsvektoren mit Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(E\) und liefert Ausgangsvektoren mit Koordinaten bezüglich der Standardbasis \(E\). Wir können Eingangsvektoren bezüglich \(E\) in Eingangsvektoren bezüglich \(B\) transformieren und anschließend die Abbildungsmatrix \(A_{BE}^f\) darauf wirken lassen:$$A_{EE}^f=A_{BE}^f\cdot\pink{\operatorname{id}_{EB}}$$
Die pinkte Transformationsmatrix von \(E\) nach \(B\) fehlt uns aktuell noch.
Die Koordinaten der Basisvektoren von \(B\) sind bezüglich der Standardbasis \(E\) angegeben:$$\vec b_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_E\;;\;\vec b_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}_E\;;\;\vec b_3=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}_B=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}_E$$Damit kennen wir die Transformationsmatrix von \(B\) nach \(E\):$$\operatorname{id}_{BE}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 1\\0 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)$$In die andere Richtung von \(E\) nach \(B\) wird mit der Inversen transformiert:$$\pink{\operatorname{id}_{EB}}=\left(\operatorname{id}_{BE}\right)^{-1}=\pink{\left(\begin{array}{rrr}0 & -1 & 1\\-1 & 1 & 0\\1 & 0 & 0\end{array}\right)}$$
Das liefert die gesuchte Abbildungsmatrix:$$A_{EE}^f=\left(\begin{array}{rrr}12 & 4 & 1\\14 & -1 & 4\\-2 & 13 & 7\end{array}\right)$$
