Winkelfunktionen, Funktionsgleichung aufstellen

Question

Aufgabe:

f(x) := a*sin(b*x) + c

Hallo, ich muss anhand einer Grafik die Winkelfunktion bestimmen, also a, b und c.

Problem/Ansatz

Ich habe das so gelernt das a, die länge von der x-achse bis zum hochpunkt ist, b die Anzahl der Hochpunkte durch 2 ist und c der Beginn der Funktion auf der y Achse ist. Kann mir bitte jemand sagen ob das stimmt, da ich keine Infos dazu gefunden habe. Außerdem hat mein Lehrer gesagt es kommt bis zu 4 pi, aber ich verstehe nicht wo man dieses pi benutzen muss und was er meint. Ich bitte um Hilfe, danke. Außerdem wäre es mega lieb, falls mir jemand eine Grafik machen könnte und mir somit zeigen könnte wie ich die Funktionsgleichung mithilfe der Grafik ermittle...(nur Sinus)

Comments

Nicht ganz korrekt.

Die allgemeine Form wäre übrigens f(x) = a*sin(b*x+d) + c

a: Amplitude (Höhe vom Mittelwert bis Hochpunkt): \( a=\frac{\max -\min }{2} \)
b: Frequenz (wie oft wiederholt sich die Welle?):  \( b=\frac{2 \pi}{\text { Periode }} \)

c: Vertikale Verschiebung:  \( c=\frac{\max +\min }{2} \)
d: Phase / horizontale Verschiebung: Anhand Verschiebung der Welle z.B. des Hochpunkts

Hier ein Beispiel zum Üben:  f(x) = 2sin(π/3*x + π/6) + 2

Zur Erklärung:

Periode und Frequenz (Die Periode T ist der Abstand von einem Maximum zum nächsten:
T=6
b=2π/T=2π/6=π/3

Phasenverschiebung (d): Das Maximum einer normalen Sinusfunktion \( (\sin (x)) \) liegt bei \( x=\frac{\pi}{2} \).

Wenn unser Maximum bei \( x=1 \) liegt, dann gilt:
\( b x+d=\frac{\pi}{2} \)

Setze \( x=1, b=\frac{\pi}{3} \) :
\( \frac{\pi}{3} \cdot 1+d=\frac{\pi}{2} \Rightarrow d=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=\frac{3 \pi-2 \pi}{6}=\frac{\pi}{6} \)

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Die allgemeine Form ist f(x) = A·sin(k·(x-x₀)) + y₀

 

x₀ und y₀ geben die Verschiebung in x- bzw y-Richtung an, wohin also der Nullpunkt der Sinus-Funktion verschoben wird (der x₀-Wert ist wegen der Periodizität der Sinus-Funktion nicht eindeutig). Falls x₀=0 ist, schneidet der Graph die y-Achse bei y₀.
A ist der Streckfaktor in y-Richtung, 1/k ist der Streckfaktor in x-Richtung (k>1 bewirkt dann eine Stauchung). k gibt an, wie viele vollständige Perioden der Funktionsgraph auf einer Länge von 2π durchläuft (im Beispiel ist k=2,5). Die Periodenlänge 2π der Sinus-Funktion wird daher auf die Länge L = 2π/k gedehnt bzw. gestaucht, es ist also k = 2π/L.

Answer 1

Sei \(P(x_P|y_P)\) der Extrempunkt mit der kleinsten positiven \(x\)-Koordinate.

Ich habe das so gelernt das a, die länge von der x-achse bis zum hochpunkt ist

Das gilt nur wenn \(c=0\) ist.

Im allgemeinen ist \(a=y_P-c\)

b die Anzahl der Hochpunkte durch 2 ist

Die Sinusfunktion hat unendlich viele Hochpunkte. Da stimmt etwas nicht.

Stattdessen ist \(b=\frac{\pi}{2x_P}\).

und c der Beginn der Funktion auf der y Achse ist.

Unglücklich formuliert, aber ich glaube du meinst das richtige. Fachbegriff ist \(y\)-Achsenabschnitt.

Answer 2

Die Bedeutung der drei Parameter a, b und c in der Funktionsgleichung wird mit diesen Graphiken anschaulich verständlich:

a bestimmt die Amplitude (klick)

b bestimmt die Frequenz (klick)

c bestimmt den Nulllinie (klick)

der Schwingung.