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Aufgabe:

Es sei \( x \) eine reelle Zahl. Berechnen Sie den Wert der Reihe

\(\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{\infty}(\tanh (x+n)-\tanh (x+(n+1)))= \)


Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis tanh(x) - 1. Kann das stimmen?

Avatar vor von

Das stimmt.

......................

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Betrachte zunächst die endliche Summe:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^N\left(\tanh(x+n)-\tanh(x+(n+1))\right)$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+(n+1))$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=0\pink{+1}}^{N\pink{+1}}\tanh(x+((n\pink{-1})+1))$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=1}^{N+1}\tanh(x+n)$$$$\phantom{S_N}=\small\left(\tanh(x+0)+\sum\limits_{n=\pink1}^N\tanh(x+n)\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{\pink N}\tanh(x+n)+\tanh(x+N+1)\right)$$$$\phantom{S_N}=\tanh(x)-\tanh(x+N+1)$$

Für Die Summe \(S_\infty\) brauchen wir den Grenzwert für \(N\to\infty\):$$\phantom=\lim\limits_{N\to\infty}\tanh(x+N+1)=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{e^{x+N+1}-e^{-(x+N+1)}}{e^{x+N+1}+e^{-(x+N+1)}})$$$$=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1-e^{-2(x+N+1)}}{1+e^{-2(x+N+1)}}=\frac{1-0}{1+0}=1$$Daher ist:$$S_\infty=\tanh(x)-1$$

Avatar vor von 153 k 🚀
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Das Endergebnis stimmt. Aber das heißt nicht, dass Du richtig gerechnet hast. Die (uns unbekannte) Rechnung, samt Begründung, sollte für eine vollständige Lösung schon auch korrekt sein.

Avatar vor von 11 k

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