Aloha :)
Betrachte zunächst die endliche Summe:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^N\left(\tanh(x+n)-\tanh(x+(n+1))\right)$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+(n+1))$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=0\pink{+1}}^{N\pink{+1}}\tanh(x+((n\pink{-1})+1))$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=1}^{N+1}\tanh(x+n)$$$$\phantom{S_N}=\small\left(\tanh(x+0)+\sum\limits_{n=\pink1}^N\tanh(x+n)\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{\pink N}\tanh(x+n)+\tanh(x+N+1)\right)$$$$\phantom{S_N}=\tanh(x)-\tanh(x+N+1)$$
Für Die Summe \(S_\infty\) brauchen wir den Grenzwert für \(N\to\infty\):$$\phantom=\lim\limits_{N\to\infty}\tanh(x+N+1)=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{e^{x+N+1}-e^{-(x+N+1)}}{e^{x+N+1}+e^{-(x+N+1)}})$$$$=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1-e^{-2(x+N+1)}}{1+e^{-2(x+N+1)}}=\frac{1-0}{1+0}=1$$Daher ist:$$S_\infty=\tanh(x)-1$$
