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Aufgabe:

Es sei \( x \) eine reelle Zahl. Berechnen Sie den Wert der Reihe

\(\displaystyle \sum \limits_{n=0}^{\infty}(\tanh (x+n)-\tanh (x+(n+1)))= \)


Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis tanh(x) - 1. Kann das stimmen?

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Das stimmt.

......................

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Betrachte zunächst die endliche Summe:$$S_N\coloneqq\sum\limits_{n=0}^N\left(\tanh(x+n)-\tanh(x+(n+1))\right)$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+(n+1))$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=0\pink{+1}}^{N\pink{+1}}\tanh(x+((n\pink{-1})+1))$$$$\phantom{S_N}=\sum\limits_{n=0}^N\tanh(x+n)-\sum\limits_{n=1}^{N+1}\tanh(x+n)$$$$\phantom{S_N}=\small\left(\tanh(x+0)+\sum\limits_{n=\pink1}^N\tanh(x+n)\right)-\left(\sum\limits_{n=1}^{\pink N}\tanh(x+n)+\tanh(x+N+1)\right)$$$$\phantom{S_N}=\tanh(x)-\tanh(x+N+1)$$

Für Die Summe \(S_\infty\) brauchen wir den Grenzwert für \(N\to\infty\):$$\phantom=\lim\limits_{N\to\infty}\tanh(x+N+1)=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{e^{x+N+1}-e^{-(x+N+1)}}{e^{x+N+1}+e^{-(x+N+1)}})$$$$=\lim\limits_{N\to\infty}\frac{1-e^{-2(x+N+1)}}{1+e^{-2(x+N+1)}}=\frac{1-0}{1+0}=1$$Daher ist:$$S_\infty=\tanh(x)-1$$

Avatar von 153 k 🚀
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Das Endergebnis stimmt. Aber das heißt nicht, dass Du richtig gerechnet hast. Die (uns unbekannte) Rechnung, samt Begründung, sollte für eine vollständige Lösung schon auch korrekt sein.

Avatar von 11 k

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