Ich suche nun die Ableitung dL/dx?

Question

Aufgabe:

Ableitung mit Summenzeichen:

Gegeben Sei eine Funktion L = 1/N ∑ (x - y)²

Ich suche nun die Ableitung dL/dx?

Wie geht man konkret mit dem Summenzeichen um?

Manche lassen es weg, wieso? Wie ist hier die mathematisch begründung!

Comments

Was ist die Laufvariable der Summe und von wo nach wo läuft sie?

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j nach N

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Vermutlich ist gemeint, dass \( x \) und \( y \) jeweils Vektoren mit \( N \) Einträgen siind, also \( x_{i} \) und \( y_{i} \) ) und gesucht ist der Gradient bzgl. x.

Also bilde die N partiellen Ableitungen nach x_i. Ob man das dann später als Vektor oder Komponentenweise schreibt ist Geschmackssache. Der Gradient ist in jedem Falle ein Vektor.

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"j nach N" ist keine sinnvolle Antwort auf die Frage "von wo nach wo läuft sie". Verstehe erstmal selbst den Ausdruck, dann teile uns den ganzen Ausdruck nimmt, vollständig (z.B. Foto), damit wir sinnvoll helfen können.

Probleme mit dem Summenzeichen verschwinden in der Regel, wenn man die Summe ausschreibt (ist ja nur ein Abkürzungszeichen).

Answer 1

Das ist megaeinfach. Beachte die Linearität bezüglich der Addition und Multiplikation des Differenzialoperators

d/dx : C^1(R) —> C(R), f ~> df/dx.

Demnach folgt nach der Additivität von d/dx und der Kettenregel

dL/dx = 1/N Σ d/dx((x-y)^2)

= 1/N Σ 2(x-y) d/dx((x-y))

= 1/N Σ 2(x-y).

Comments

Mal abgesehen davon, dass die letzte Gleichung falsch ist - woher weißt Du das es sich um eine Funktion mit der Variablen x handelt? Was für eine Bedeutung hätte dann die Summe (von j=1 bis N wie später ergänzt wurde)?

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Dann muss der Fragsteller das so schreiben.

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Gut das Du Deinen Fehler korrigiert hast.

Ja, der Fragesteller war sehr ungenau in seiner Frage. Aber wenn unter dem Summenzeichen kein Ausdruck mit j vorkommt, fiele der gesamte Ausdruck zusammen in

L= (x-y)²

was ja wohl kaum Sinn macht wenn man schon ein Summenzeichen bemüht.

Damit liegt die Vermutung nahe, dass tatsächlich die Summe über (x_j- y_j)² 

gemeint ist.

Und auch in Deiner Ableitung ist die Summe komplett überflüssig.

Answer 2

Wie geht man konkret mit dem Summenzeichen um?

Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen. Auch bekannt als Summenregel.

Manche lassen es weg, wieso? Wie ist hier die mathematisch begründung!

Die einzelnen Summanden haben alle dieselbe Struktur, weshalb auch die (partiellen) Ableitungen dieselbe Struktur haben. Weglassen sollte man das Summenzeichen jedenfalls nicht, denn das ist mathematisch falsch. Ansonsten solltest du die konkreten Rechnungen liefern, wo irgendetwas weggelassen wird.