Lösbarkeitsbedingungen einer Koeffizienten-Matrix mit 2 Parametern

Question

Aufgabe:

Lösbarkeit einer Koeffizientenmatrix mit Parametern.

Also 1 0 0 =2
      0 1 0 =5/2
    0 0 1 = (b+1)/(a+3)

Ich soll die a und b Werte für: Keine, genau eine und unendlich viele Lösungen finden.

Problem/Ansatz:

Keine Lösung wäre ja 3. Zeile = 0. Also a=-3 und b =-1

Aber wie finde ich die Werte für die anderen beiden Bedingungen? Die Gleichung wäre dann ja 0x+0y+1z= (Irgendwas =/= 0)

Comments

Ist das die ursprüngliche Aufgabe oder hast DU durch a+3 dividiert?

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Ursprünglich war sie deutlich komplizierter.

Text erkannt:

\( \left(\begin{array}{ccc|c}(1) & 2 & 4 a+12 & 4 b+11 \\ 1 & 4 & 6 a+18 & 6 b+18 \\ a & 2 a & 4 a^{2}+13 a+3 & 11 a+4 a b+b+1\end{array}\right) \)

Hab sie dann auf Einheitsmatrix runtergebrochen (war auch Teil der Aufgabe)

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Dann musst du den Fall \(a=-3\) separat betrachten. Also einsetzen und schauen, wie die Lösungsstruktur dann aussieht.

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Hab sie dann auf Einheitsmatrix runtergebrochen (war auch Teil der Aufgabe)

Das hast du auch völlig richtig gemacht. Und ich habe dafür auch korrekt die Anzahlen der Lösungen angegeben.

Wenn du da etwas nicht verstehst frag aber gerne nochmals nach.

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Ich verstehe nicht, wie man es als "völlig richtig" bezeichnen kann, wenn jemand durch a+3 dividiert-ohne Fallunterscheidung!

Answer 1

Keine Lösung wäre ja 3. Zeile = 0. Also a=-3 und b =-1

Das ist zu oberflächlich.

Keine Lösung gibt es, wenn (a+3)=0 gilt.

Wenn b=-1 ist (und a=3 ungleich 0 ist)  GIBT ES eine eindeutige Lösung.

Unendlich viele Lösungen gibt es hier nicht.

Comments

Keine Lösung gibt es, wenn (a+3)=0 gilt.

Aber für \(a+3=0 \land b+1=0\) gibt es schon Lösungen.

Answer 2

Die erweiterte Koeffizienten Matrix lautet ja

$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 a+12 & 4 b+11 \\ 1 & 4 & 6 a+18 & 6 b+18 \\ a & 2 a & 4 a^{2}+13 a+3 & 11 a+4 a b+b+1\end{array}\right) $$

Für \( a = -3 \) und \( b = -1 \) ergibt sich folgende Matrix

$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 7 \\ 1 & 4 & 0 & 12 \\ -3 & -6 & 0 & -21 \end{array}\right) $$

Das auf Stufenform gebracht ergibt

$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) $$

Damit ergeben sich unendlich viele Lösungen für \( a = -3 \) und \( b = -1 \)

Für \( a = -3 \) und \( b \ne -1 \) ergibt sich die Stufenform zu

$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$

Somit gibt es hier keine Lösung.

Für alle anderen Fälle gibt es eine eindeutige Lösung.

Answer 3

Also a=-3 und b =-1

Nicht ganz. Was ist, wenn \(b\neq -1\)? Also muss wirklich beides (und) erfüllt sein?

0x+0y+1z= (Irgendwas =/= 0)

Warum darf da nicht 0 rauskommen? Was wäre denn, wenn da doch 0 herauskommt? Gibt es dann eine (eindeutige) Lösung? Und was ist, wenn es ungleich 0 ist? Ist die Lösung dann eindeutig oder kann man einen Fall konstruieren, wo es unendlich viele Lösungen gibt?

Wie lautet genau das Kriterium zur Lösbarkeit? Achte da genau auf die Details.

Comments

0x+0x+1z= 0 lässt sich nicht lösen. Daher keine Lösung des Ganzen. Oder überseh ich was?

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Warum lässt sich das nicht lösen? Vereinfache die Gleichung doch mal.

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z=0? Dann hätte ich eine komplette Nullzeile und die bedeuted doch keine Lösung.

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Nein, das verstehst du falsch, denn \(z=0\) ist doch eindeutig. Eine Nullzeile hättest du, wenn in der Koeffizientenmatrix auch eine Null stünde, tut es aber nicht.

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Tut mir Leid, aber ich versteh grad nur noch Bahnhof.Wie genau sind die Lösungsbedingungen im Falle meiner Matrix?

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Sagt dir das Rangkriterium etwas bzgl. der Lösbarkeit eines LGS?

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Spontan nicht viel aber danke für das Stichwort

Answer 4

0 0 1 = (b+1)/(a+3)

Die Zeile kann man deuten als

z = (b+1)/(a+3)

oder evtl. auch (a+3)z = (b+1) wenn es daher kommt.

Unendlich viele Lösungen für a = -3 und b = -1.

Keine Lösung für a = -3 und b ≠ -1.

Genau eine Lösung für a ≠ -3.

Comments

Unendlich viele Lösungen für a = -3 und b = -1.

Falsch, da deine Äquivalenzumformung in diesem Fall nicht gültig ist.

Ansonsten plapperst du bereits Gesagtes mal wieder nach.

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Wie gesagt: Wenn die letzte Zeile daher kommt

(a+3)z = (b+1)

Ich gehe dabei davon aus, dass die vorhandene erweiterte Koeffizientenmatrix über rref entstanden ist.

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Wäre es dann nicht pädagogisch / didaktisch sinnvoller den FS zu fragen, was er / sie eigentlich fragen will?

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MC und Pädagogik/Didaktik? Wo kommen wir denn da hin? Er interpretiert doch immer alles so, wie es für ihn am besten passt.

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Didaktisch macht doch nur so

Ich soll die a und b Werte für: Keine, genau eine und unendlich viele Lösungen finden.

einen Sinn. Vielleicht solltet ihr lieber nachfragen.

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(a+3)z = (b+1)

für a = -3 und b = -1 steht dort
0z = 0
was für jedes z erfüllt ist. Daher gibt es unendlich viele Lösungen.

für a = -3 und b ≠ -1 steht dort
0z = b + 1 ≠ 0
was für kein z erfüllt ist. Damit gibt es keine Lösung

für a ≠ -3 steht dort
(a+3)z = (b+1)
z = (b+1)/(a+3)
und damit hat man genau eine Lösung.

Answer 5

$$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 a+12 & 4 b+11 \\ 1 & 4 & 6 a+18 & 6 b+18 \\ a & 2 a & 4 a^{2}+13 a+3 & 11 a+4 a b+b+1\end{array}\right) \\[1em] \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 a+12 & 4 b+11 \\ 0 & 2 & 2 a+6 & 2 b+7 \\ 0 & 0 & a+3 & b+1\end{array}\right) \\[1em] \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & a+3 & b+1\end{array}\right) \\[1em] \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 2,5 \\ 0 & 0 & a+3 & b+1\end{array}\right) \\$$ Bis hierher geht es ohne Division von Termen, die null werden können, wegen der einfachen Zahlen recht flott. Nun geht es mit geeigneten Fallunterscheidungen weiter.