Bestimmung Frobenius-Normalform/rationale Normalform: Invariantenteiler

Question

Ich übe gerade, die Frobenius-Normalform (ich glaube auch genannt rationale Normalform) einer Matrix zu bestimmen. Gegeben sind
$$\chi_A=t^3(t+1)^5=t^8+5t^7+10t^6+19t^5+5t^4+t^3 \text{ und } \mu_A=t^2(t+1)=t^5+3t^4+3t^3+t^2$$

$$\text{ Dann ist } p_1=\mu_A=t^5+3t^4+3t^3+t^2 \text{ und damit }$$

$$\Rightarrow C_{p_1}=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&1&0&0&-1\\0&0&1&0&-3\\0&0&0&1&-3\end{bmatrix}$$
$$→ p_2|p_1, \text{ also } p_2=t(t+1) \text{ oder } p_2=t(t+1)^2 (\Rightarrow \text{ dann } p_3=t+1)$$ $$\text{ Woher wissen wir, welches } p_2 \text{ zu wählen ist? Es ergibt sich entweder}$$

$$A_1=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&-1&0&0&0\\0&0&1&0&-3&0&0&0\\0&0&0&1&-3&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&-1\\0&0&0&0&0&0&1&-2\end{bmatrix} \text{ oder } A_2=\begin{bmatrix}0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&-1&0&0&0\\0&0&1&0&-3&0&0&0\\0&0&0&1&-3&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&-1&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}$$

$$\text{ mit } \chi_{A_1}= \chi_A \text{ und } \chi_{A_2}=\chi_A$$

Habe ich mich irgendwo verrechnet? Weil eigentlich soll die Frobenius-Normalform ja eindeutig sein. Dann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wo genau es hängt?

Comments

Bei μ_A scheint ein Fehler vorzuliegen

---

t²·(t + 1)³ = t⁵ + 3·t⁴ + 3·t³ + t²

---

Oh ja, da habe ich ganz oben das ^3 vergessen. Insgesamt ist aber $$\mu_A=t^2(t+1)^3=t^5+3t^4+3t^3+t^2$$
und leider komme ich immer noch nicht weiter. Habt ihr einen Tipp, wie ich den/die richtigen Invariantenteiler finde?

---

Ich meine mich dunkel daran zu erinnern, dass die Frobenius Darstellung eindeutig bis auf Ähnlichkeit ist, also wären beide korrekt.