Berechnen Sie den Abstand des Punktes (0,2) von der Normalparabel y=x².

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Abstand des Punktes (0,2) von der Normalparabel y=x².

Problem/Ansatz:

Kann jemand diese Aufgabe für mich mit Rechenweg lösen? Wäre wirklich eine große Hilfe! LG

Comments

Mach doch mal eine Skizze, das hilft bestimmt weiter…

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ich habe jetzt eine skizze gemacht, aber ich weiß gar nicht wie man bei dem abstandsproblem punkt-parabel vorgeht. kannst du mir da einen ansatz verraten?

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Der Abstand zwischen (0/2) und einem Punkt (x/x²) der Parabel soll minimal sein. Nun die Formel für den Abstand zweier Punkte in der Ebene nehmen. Das liefert eine Funktion deren Extremwerte Du suchst. Da die Parabel symmetrisch ist, gibt es zwei Lösungen jeweils rechts und links eine. Zur Kontrolle der positive Wert lautet x₁ = \( \sqrt{\frac{3}{2}} \)

und der gesuchte Abstand ist dann \( \frac{\sqrt{7}}{2} \)

Alternativ könntest Du auch nutzen, dass der Verbindungsvektor der beiden Punkte senkrecht auf der Tangente der Parabel in diesem Punkt steht.

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Man erhält hier für die Ableitung der Abstandsfunktion eine Funktion 3. Grades und damit 3 Lösungen. Diese muss man einsetzen und prüfen, welche den kleinsten Abstand ergibt.

$$f′(x)=4x^3−6x$$

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Da die Parabel symmetrisch ist, gibt es zwei Lösungen jeweils rechts und links eine.

Gilt im Allgemeinen nicht. Das gilt hier nur, weil der gegebene Punkt zusätzlich auf der Symmetrieachse der Parabel liegt.

Answer 1

Abstand zwischen zwei Punkten \(\left(x_1,y_1\right)\) und \(\left(x_2,y_2\right)\) ist

    \(d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2 + \left(y_2-y_1\right)^2}\).

In deinem Fall geht es um die Punkte \((0,2)\) und \(\left(x,x^2\right)\).

Oben einsetzen und dann mittels Differenzialrechnung das Minimum berechnen.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Punkte der Parabel \(y=x^2\) werden durch den Vektor \(\binom{x}{y}=\binom{x}{x^2}\) abgetastet. Der Abstand des Punktes \(P(0|2)\) von einem dieser Parabel-Punkte ist daher:$$d(x)=\left\|\binom{x}{x^2}-\binom{0}{2}\right\|=\left\|\binom{x}{x^2-2}\right\|=\sqrt{x^2+(x^2-2)^2}=\sqrt{x^4-3x^2+4}$$$$\phantom{d(x)}=\sqrt{\left(x^4-3x^2+\frac94\right)+\frac74}=\sqrt{\left(x^2-\frac32\right)^2+\frac74}$$

Da Quadratzahlen stets \(\ge0\) sind, ist \(d(x)\) minimal für \(x^2=\frac32\) bzw. für \(x=\pm\frac12\sqrt6\).

Der minimale Abstand ist daher \(d_{\text{min}}=d(\pm\frac12\sqrt6)=\sqrt{\frac74}=\frac12\sqrt7\).

Comments

vielen dank für die antwort. kannst du den schritt wo du die "4" in "neunviertel" und "siebenviertel" umwandelst noch einmal erklären, also den sinn dahinter. das habe ich noch nicht ganz verstanden...

PS: Entschuldige meine komische ausgeschriebene Schreibweise, ich weiß noch nicht wie man Bruchstriche hier einfügt:)

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Die Umschreibung nennt man "quadratische Ergänzung" und der Sinn ist ja oben erklärt: man kann das Minimum ohne Ableitungen berechnen.

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alles klar vielen lieben dank

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Wenn man Parabeln in der sogenannten Scheitelpunktform vorliegen hat:$$y(x)=a\cdot\left(x-b\right)^2+c$$kann man sofort ablesen, dass der Scheitelpunkt \(S(b|c)\) ist.

Das liegt daran, dass Quadratzahlen nie negativ werden können und daher das Minimum von \((x-b)^2\) bei \(x=b\) liegt.

Hier haben wir den Term unter der Wurzel auf diese Form gebracht:$$y(x)=1\cdot\left(x^2-\frac32\right)^2+\frac74$$um das Minimum direkt ablesen zu können.

Alternativ dazu hättest du mit der Differentialrechnung die Extrema von \(d(x)\) bestimmen können und hättest dann noch zeigen müssen, dass es sich um Minima handelt.

Wenn du trotzdem gerne mit Differentialrechnung arbeiten möchtest, reicht es auch aus, die Extrema von \(d^2(x)\) bestimmen. Dann entfällt zumindest schon mal die Wurzel.

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alles klar. erkennst du bei dieser aufgabe irgendeinen zusammenhang zu dem thema "Die Parabel als geometrische Ortslinie". Ich erkennen nämlich dort keinen, obwohl wir diese aufgabe im unterricht im kontext mit diesem thema hatten

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Nun, der Graph der Normalparabel ist die Ortslinie aller Punkte, die die Gleichung \(y=x^2\) erfüllen und damit ein geometrisches Objekt. Die Problemstellung der Abstandsberechnung ist ebenfalls geometrischer Natur.