Es ist \(x\geq 1\) oder \(x=0\), da die Gleichung sonst nicht definiert ist.
Setze \(y=\sqrt{x}\) und erhalte
\(\sqrt{x\sqrt{x}-x}=\sqrt{x(\sqrt{x}-1)}=\sqrt{y^2(y-1)}=y\sqrt{y-1}\).
Damit ergibt sich die Gleichung
\(y\sqrt{y-1}+y=y^2\) bzw. nach Subtraktion von \(y^2\) und Ausklammern von \(y\):
\(y(\sqrt{y-1}-(y-1))=0\)
Die Lösungen ergeben sich aus dem Satz vom Nullprodukt mit
\(y=0\)
und
\(\sqrt{y-1}=y-1\), was aber nur für \(y-1=0\) und \(y-1=1\) erfüllt ist. Es gilt also weiterhin
\(y=1\) und \(y=2\).
Nach der Rücksubstitution bekommt man daher die Lösungen
\(x=0\), \(x=1\) und \(x=4\).
