Wurzelgleichung ohne Quadrieren lösen

Question

Löse $\sqrt{x\sqrt{x}-x}$+$\sqrt{x}$=x ganz ohne Quadrieren und mit Hilfe der Sätze über die Wurzeln aus 1 und 0.

Comments

Offenbar ist $x_1=0$ eine Lösung. Für $x\ge1$ gilt
$\sqrt{x\sqrt x-x}+\sqrt x-x=\Big(1-\sqrt{\sqrt x-1}\Big)\sqrt{\sqrt x-1}\,\sqrt x$.
Daran lassen sich alle weiteren Lösungen ablesen.

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Glückwunsch zu dieser Zerlegung.

Answer 1

Es ist $x\geq 1$ oder $x=0$, da die Gleichung sonst nicht definiert ist.

Setze $y=\sqrt{x}$ und erhalte

$\sqrt{x\sqrt{x}-x}=\sqrt{x(\sqrt{x}-1)}=\sqrt{y^2(y-1)}=y\sqrt{y-1}$.

Damit ergibt sich die Gleichung

$y\sqrt{y-1}+y=y^2$ bzw. nach Subtraktion von $y^2$ und Ausklammern von $y$:

$y(\sqrt{y-1}-(y-1))=0$

Die Lösungen ergeben sich aus dem Satz vom Nullprodukt mit

$y=0$

und

$\sqrt{y-1}=y-1$, was aber nur für $y-1=0$ und $y-1=1$ erfüllt ist. Es gilt also weiterhin

$y=1$ und $y=2$.

Nach der Rücksubstitution bekommt man daher die Lösungen

$x=0$, $x=1$ und $x=4$.

Comments

Warum ist in der Zeichnung die Lösung $x=0$ nicht vorhanden?

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Denk mal scharf nach…

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Hab ich schon. Nützt bloß nichts.

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Was ist mit dem Radikand der ersten Wurzel, wenn x<1 ist?

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Wenn der Radikand kleiner als 1 aber größer als 0 ist, ist die Wurzel nicht definiert. Nun ist aber 0 auch eine Lösung. Da sollte  GeoGebra auch einen Punkt hinmachen.

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Desmos tuts. Zumindest, wenn man den Graphen einmal anklickt und er einem besondere Punkte anzeigt.

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Das letzte Mal, als ich nachgelesen habe, hatte ein Punkt keine Ausdehnung, mag daran liegen :-)

Geogebra zeigt Punkte an, wenn Du welche explizit angibst, wie (0,f(0)) oder brav darum bittest, hier mit ‚spezielle Punkte‘ anklicken.

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Auch Mathematica macht das Pünktchen im Ursprung so klein, dass man es nicht sieht: