Zeige, dass (X^T*Ω^-1*X)^-1 <= (X^T*X)^-1 *X^T*Ω*X(X^T*X)^-1.

Question

Sei X eine n x k Matrix vom Rang k und sei Ω eine positiv definite und symmetrische nxn Matrix. Zeige, dass (X^T*Ω^-1*X)^-1 <= (X^T*X)^-1 *X^T*Ω*X(X^T*X)^-1.

Hinweis: Interpretiere die Matrizen als VC-Matrizen.

Wie genau gehe ich hier vor?

Comments

Was sind denn VC Matrizen?

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Vermutlich ‚Varianz-Kovarianz-Matrizen‚

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@Mathhilf, Varianz-Kovarianz-Matrizen sind gemeint

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Also wenn \( X \) und \( \Omega\) Kovarianzmatrizen sind, dann sind sie quadratisch und symmetrisch. Offenbar wird angenommen das \( \Omega \) invertierbar ist, sonst würde ja \( \Omega^{-1} \) keinen Sinn machen. Da \( X \) symmetrisch ist gilt \( X^T X = X X = X^2 \) und das soll ja auch invertierbar sein, weil auch das da in Deinem Text steht \( \left( X^T X \right)^{-1} \). Wenn aber \( X^2 \) invertierbar ist, dann ist auch \( X \) invertierbar, denn es gilt \( 0 \ne \det(X^2) = \left( \det(X) \right)^2 \)

D.h. aber $$ ( X^T \Omega^{-1} X )^{-1} = X^{-1} \Omega X^{-1} $$

und

$$ ( X^T X )^{-1} X^T  \Omega X ( X^T X )^{-1} = X^{-2} X \Omega X X^{-2} = X^{-1} \Omega X^{-1} $$

Oder hab ich da was falsch verstanden?

Ich weiss aber nicht was Du mit dem Relationszeichen meinst. Soll das ein \( \le \) sein (macht aber keinen Sinn) oder \( \Leftarrow \) oder \( = \)?

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Gemeint ist wohl die Loewner-Halbordnung

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Und X ist (allg) nicht quadratisch- nach Aufgabenstellung.

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Ich kenne nur quadratische Kovarianzmatrizen. Dann sind es also nicht Kovarianzmatrizen?

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Man soll sicherlich die Produkte als VC-Matrizen auffassen, nicht die einzelnen Matrizen selbst.