Zeigen Sie, dass die Menge Sym(X) := {f : X → X | f ist bijektiv}

Question

Sei X eine Menge. Zeigen Sie, dass die Menge
Sym(X) := {f : X → X | f ist bijektiv}
mit der Verkettung von Abbildungen und dem Element id_X eine Gruppe bildet. Diese Gruppe
nennt man die Symmetrische Gruppe auf der Menge X.

Answer 1

Verkettung von ABB'en ist ja assoziativ und

wenn

man zwei bijektive verkettet ist das Ergebnis auch bijektiv.

Neutrales Element ist die Identität ( also mit f(x)=x ) und

Da jede bijektive Abb. eine Umkehrabb. hat, hat man auch die

Inversen.