Wie beweist man, dass diese spezielle Abbildung bijektiv ist?

Question

also die Abbildung ist:

$$\phi(n) :=
\begin{cases}
 &  0, falls~n=1\\
 &  k, falls~n=2k\\
 &  -k, falls~n=2k+1
\end{cases}, k, n \in \mathbb{N}$$

Wie beweist man jetzt, dass sie bijektiv, also surjektiv und injektiv ist?

Danke,

Thilo

Answer 1

Also ich denke am einfachsten ist es indem du eine Umkehrabbildung angibst. Ganz wichtig ist dabei, dass Werte und Definitionsbereich vertauscht werden, ansonsten jedoch nicht verändert sind.

d.h φ^{-1}: Z->N

Dadurch ergibt sich automatisch dass die Abbildung injektiv und bijektiv ist.

Diese Umkehrabbildung ist nicht schwer aufzustellen und sollte als formaler Beweis genügen.

Liebe Grüße

Ancnym


PS: Natürlich kannst du auch zeigen dass sie injektiv und surjektiv ist. Allerdings ist das dann viel langweilige Schreibarbeit...  und läuft auf das selbe hinaus. Würde so beginnen: Injektivität: Annahme: φ(n_1)=φ(n_2)

Fall1: φ(n_1)=φ(n_2)>0   ->   n_1/2=n_2/2   -> n_1 = n_2

Fall2:  φ(n_1)=φ(n_2)=0 -> n_1=0 und n_2=0 ->n1_n2

Fall3: φ(n_1)=φ(n_2)<0...

Und ähnlich noch alles für die Surjektivität...