0 Daumen
149 Aufrufe

Aufgabe:

1.1 Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen surjektiv sind und berechnen Sie den Kern. Seien U, V Unterräume eines K-Vektorraumes W.

(a) U → (U + V )/V

(b) Sei jetzt außerdem U ⊂ V , und betrachten Sie W/U → W/V .
Verwenden Sie für diese beiden Abbildungen den Isomorphiesatz (Korollar 1.1.8 der Vorlesung) an und schreiben Sie die entstehenden Formeln auf.

1.2 Sei Y eine Teilmenge einer Menge X. Wie würden Sie den Quotient X/Y (als Menge)
definieren? Dazu: Wie wäre die entsprechende universelle Eigenschaft?

Zusatzaufgabe zum Knobeln: Wie würden Sie das Koprodukt/Summe der beiden Mengen
{1, 2} und {2, 3} definieren?


Problem/Ansatz:

Dies ist ein Präsenzzettel der ersten Woche aus der Vorlesung zur Linearen Algebra 2.

Ich selbst habe mir heute nebenbei und auch damals schon die Definition zu Quotienten angesehen.

Hierbei habe ich folgendes verstanden.

Es wird gewollt, dass man einen neuen K VR konstruiert in dem eine lin. Abb. definiert wird.

pi: V nach Q, V ist ein K VR und Q der Quotientenraum.

U ist ein U VR von V.

pi(u) = 0_Q (?) Es ist eine Null mit einem zweiten Strich wie bei N für die natürlichen Zahlen.

Die Abbildung sei surjektiv.

pi(v) ist ungleich 0_Q für jedes v aus V\U

Die Zeichnung selbst hinter dem Problem ist "simpel"

Im Bosch Buch zur lin. A. fand ich folgende Stelle: Man bezeichnet A als afinen UR von V, wenn A leer ist, oder wenn es ein Element a aus V und einen linearen UR U aus V gibt mit A = a + U:= {a +u; u aus U}.

Mir bleibt leider genau jetzt nicht mehr viel Zeit, ich möchte keine direkte Lösung erhalten!

Ich möchte und werde mich später am Abend wieder damit weiter befassen und hoffentlich etwas mehr zu den Präsenzaufgaben verstehen.

Meine Hoffnung hier: Erklärung von dem wie die Aufgabe angegangen werden soll und wie ich mit den Informationen aus der Definition die Aufgabe lösen kann. Hätte ich jetzt ein paar Minuten mehr, dann hätte ich zur Surjektivität schon was gesagt.

Avatar vor von

Sicherheitshalber: Bei a) ist U kein Untervektorraum von V

Ganz allg. ist die Definition der Surjekitvität ja, dass im zu jedem Element aus dem Zielraum ein Element aus der Urbildmenge existiert.

Das ganz typische für alle y aus Y, existiert ein x aus X mit f(x)=y.

Da U und V Unterräume von W sind, gibt es zu jedem w aus W ein u aus U unter folgender Vorschrift.

pi(u) = w

wobei w sich als (w + V)/V schreiben lässt, wenn ich nun u aus U nehme und das alles mit dem Modulo schreiben also.

pi ( (u + V)/V) = (w + V)/V

Daraus folgt u + V = w + V, weiter folgt u -w = 0, die V´s lassen sich abziehen.

Selbst wenn ich modulo rechne, erhalte ich doch eine 1 für V, u + 1 = w + 1.

Gleiches Argument wie eben nur auf die 1 angewendet.

Mit u - w = 0 habe ich doch keine Surjektivität gezeigt ?

Für die Surjektivität muss zu einem beliebigen Element aus (U+V)/V (nicht aus W) ein Urbild in U gefunden werden.

Der Schluß u - w = 0 ist falsch, es folgt stattdessen u - w ∈ V

Okay, ich fahre jetzt leider wieder weg. Ich lasse mir die Antwort mal durch den Kopf gehen und schaue wann ich Zeitnah darauf antworte. Danke dir schon mal.

Ich bin kurz auf deine Notation eingengen und würde folgende Frage stellen. Ich zeige mit w aus (u+V)/V und u aus U, dass

(u+ V)/V = (w + V)/V ist. Nach Modulo rechnen bleibt nur u = w übirg, u -w sind dann ganz allg immernoch in V (nicht W ?) Enthalten, warum ist u-w nicht gleich 0 ? Also die Umformung ergibt das ja, ich frage mich wie dann mit u-w in V die Surjektion gezeigt ist ?

Aus \( u+V=w+V \) folgt nicht \( u-w=0 \), sondern nur \( u- \) \( w \in V \) (d.h., \( u \) und \( w \) unterscheiden sich um ein Element aus \( V \) ).

Und genau daraus folgt die Surjektivität.

Ah okay, ich denke nach einiger Zeit mit dem Problem habe ich langsam verstanden, dass aus der Gleichung nicht =0 folgt.

mit u - w aus V ist eher gemeint, dass wenn ich einen Quotientenraum mir konstruiere zb W sei der R^2, U ein U VR mit dem span {(0,1)}, wenn ich nun einen Vektor nehme aus W zb (3,2) und einen weiteren Vektor v (3,-2)

Dann ist v-w (0,-4) und (0,-4) ist immernoch in U Enthalten.

So, eine Skizze gabs im Skript, ich sah mir ein Video von Matheint. an, die Argumentation ist angelehnt an dem was er im Video gezeigt hat.


Wenn ich nun eine Abb von U nach (U + V)/V habe und ich die Surjektion zeigen möchte,

Zu jedem Element aus der Zielmenge (U + V)/V existiert ein u aus U mit der Abbildung: pi(u) = u + V = w + V

sei nun w aus der Zielmenge ( U + V )/V

w = u + v mit u aus U und v aus V

Nun zurück zur Gleichung die aus der Abbildung kommt. u+V = w+V

Setze man w ein erhält man u + V = u +v + V

Da v aus V ist und wir mod V rechnen verschwindet das v auf der rechten Seite,

damit bleibt u + V = v + V übrig.

Jetzt landet man genau bei der alten Gleichung wieder, was am Ende bedeutet, dass wir w als kombination von v und u schreiben können, damit kann man sagen, dass zu jedem Element aus der Zielmenge (U+V)/V sich ein u aus U mit u + V sich finden lässt.

Damit hätte man die Surjektion gezeigt, hoffe ich.

Fast, aber etwas klarer formulieren:

Sei \( w+V \in(U+V) / V \) beliebig, wobei \( w \in U+V \). Dann existieren \( u \in U \) und \( v \in V \) mit \( w=u+v \).

Bis hierhin hast Du es auch. Es gilt nun:

\( w+V=(u+v)+V=u+(v+V)=u+V \)
da \( v+V=V \) in \( (U+V) / V \).

Also ist \( w+V=\pi(u) \), und somit ist \( \pi \) surjektiv.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community