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Aufgabe \( 5(1+1+2+2 \) Punkte). Affine Ebenen.
(a) Zeigen Sie, dass affine Ebenen mindesten 4 Punkte haben.
(b) Zeichnen Sie eìne affine Ebene \( \Gamma \) mit 4 Punkten.
(c) Sei \( \mathbb{A} \) eine weitere affine Ebene, Zeigen Sie, dass es eine Abbildung \( \Gamma \rightarrow \mathbb{A} \) gibt.
(d) Folgern Sie, dass die affine Ebene mit 4 Punkten bis auf Isomorphismus eindeutig ist. Das heiSt, für jede weitere affine Ebene \( \mathbb{A}^{\prime} \) mit 4 Punkten, existiert ein Isomorphismus (ein bijektiver Morphismus) \( f: \mathbb{A} \rightarrow \mathbb{A}^{\prime} \).
Lösung. (a) Da endliche affine Ebenen der Ordnung \( n \) immer \( n^{2} \) Punkte haben, und \( n \geq 2 \) nach \( \left(I_{2}\right) \), muss \( n^{2}=|\underline{P}| \geq 4 \).
(b) Bild einer affinen Ebene mit 4 Punkten:
(c) Seien \( A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime} \) drei Punkte in allgemeiner Lage in \( \mathbb{A} \), die nach \( \left(I_{3}\right) \) existieren. Sei \( g \) die eindeutige Parallele zu \( \overleftrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}} \) durch \( C^{\prime} \) nach \( (s P) \), und \( h \) die eindentige Parallele zu \( \overleftrightarrow{B^{\prime} C^{\prime}} \) durch \( A^{\prime} \). Da \( \overleftrightarrow{A^{\prime} B^{\prime}} \) und \( \overleftrightarrow{B^{\prime} C^{\prime \prime}} \) nicht parallel sind, haben sie einen Schnittpunkt \( D^{\prime} \).
