Basen aller Haupträume bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich soll zu einer Matrix die Eigenwerte sowie Basen aller Haupträume bestimmen.

$$ \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & -2 & 2 & -8 \\-1 & -2 & 0&-3 \\0&2 &-1 &6 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

EW bestimmen ist nicht schwer, zu den Haupträumen habe ich im Skript eine Stelle gefunden aber ich verstehe diese gar nicht und oder wüsste einfach nicht was zu tun ist.

In der gegebenen Musterlösung wird das charakteristische Polynom bestimmt dann kann entnehmen, dass man durch Polynomdivision einen EW bestimmt hat.

Dann werden die Kerne berchnet und mit dem Gauß Algorithmus gelöst.

Kann ich bei solch einer Aufgabe immer so vorgehen ?

Vorallem tritt ein Eigenwert mit einer algebraischen Vielfachheit von 3 auf.

Damit war nach der Polynomdivision ein Polynom 3ten Grades übrig und dieses wurde durch den gleichen Eigenwert gelöst. Daher die algebraische Vielfachheit von 3, ich hoffe ich vertausche hier nicht die beiden Begriffe (algebraisch und geometrisch).

Ich versuche mich mal an die Aufgabe und sehe wie gut ich mit den Ergebnissen der Musterlösung weit komme.

Vielleicht schaffe ich es die selbst komplett zu lösen, was cool wäre. Aber wenn es irgendwann jemanden gibt der vor einer identischen Aufgabe steht und diese nicht lösen kann. Kann meinen Beitrag villeicht finden.

Achja und ich finde, dass generell die Rechenaufgaben nicht so wahnsinnig komplex sind, es ist einfach eher die Literatur die ganz allgemein gefasst ist.

Deswegen stelle ich hier die Frage, ist das ein Vorgehen welches ich immer anwenden kann ? Oder in nahezu allen Fällen ? Ganz besondere Fälle denen ich unwahrscheinlich begegne sind außer Reichweite meines Interessengebietes.

Vielen Dank und viele Grüße

Comments

MIr fiel direkt ein Rechenfehler auf bei der Musterlösung, die Matrix nach beim bestimmen des charakteristischen Polynoms wird mit *(-1) multipliziert und dabei wurden einige Einträge nicht ganz mitgenommen.

Jetzt mag ich nicht die ganze Aufgabe in Frage stellen, vielleicht ist es ja dennoch richtig gerechnet. Sowas finde ich jetzt ärgerlich, weil man sich nicht auf die Musterlösung verlassen kann. ... :/

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Okay, das charakteristische Polynom stimmt doch mit der Musterlösung überein.

Answer 1

Die Fallunterscheidungen können recht aufwändig werden - für dieses Beispiel

\(CharP:=\left(\lambda - 1  \right) \; \left(\lambda - 2  \right)^{3} = 0\)

\(EV \, :=   \left(\begin{array}{rr}0&1\\-2&-2\\1&0\\1&1\\\end{array}\right)\)

\(zu EV_2:\; \lambda=2,\, n=3\\ Suche\, HV ∈ Kern (A-2 id)^N mit\; dim Kern (A-2 id)^N = n ∧ HV ¬∈ Kern (A-2 id)^{N-1} \to N=3\)

\((A - 2 * id)^3 =  \, \left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&0\\2&6&4&10\\-1&-3&-2&-5\\-1&-3&-2&-5\\\end{array}\right)\)

\(entwickle\; HVKandidaten\)

\(HVKandidaten \, =  \, \left(\begin{array}{rrr}-3&-2&-5\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

 \(HV1 = (A - 2 * id)\, HV1Kandidaten =  \, \left(\begin{array}{rrr}0&-1&0\\-4&2&-8\\1&0&2\\2&-1&4\\\end{array}\right)\)

\(HV11=(A - 2 * id)\, HV1 \, =  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&-2\\2&0&4\\0&0&0\\-1&0&-2\\\end{array}\right)\)

\(HVKandidaten _2 ∈ Kern \)

\(T=\{HV11_1,HV1_1,HVKandidaten_1,EV_1\} \\ T=   \, \left(\begin{array}{rrrr}-1&0&-3&0\\2&-4&1&-2\\0&1&0&1\\-1&2&0&1\\\end{array}\right)\)

\(T^{-1} A T =  \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \)

Comments

Guten Tag, danke dir für deine Antwort.

Ich erkenne, dass du da die Hauptvektoren ausgerechnet hast, richtig ?

Ich habe gerade eben noch an einer anderen Matrix genau dies gemacht, Hauptraumzerlegung und dann gezeigt, dass zu der konstruierten Matrix S eine S^-1 existert, sodass S^-1 A S = D N ist, wobei D eine Diagonalmatrix ist und N eine Nilpotente. Weil ich eben selbst durch ein, für mich aussehendes, identisches Verfahren gegangen bin meine ich, dass du hier halt die Hauptraumzerlegung gemacht hast.

Ich Habe einen Screenshot von der Musterlösung angefügt.

Was mich ein wenig ärgert ist, dass ich wohl bis zu den EW leicht komme und auch wohl die Matrix (A-L Id) bestimmen kann aber die Vektoren nicht ganz erhalte. Ich hatte die versucht 1-2 mal zu rechnen und nach dem mein Ergebnis nicht ganz übereinstimmte, lies ich erst die Aufgabe bei Seite.
Ich bin dabei wie folgt vorgegangen: ker(A_L Id) = 0 und dann mit dem Gauß Algorithmus versucht die Gleichungen zu lösen. Was mich definitiv stutzig machte und als ich in Chatgpt fragte ob diese Lösung stimmen könne, wurde dies verneint. Also war ich an dem Punkt wo ich nicht den gleichen Vektor erhalten, desweiteren soll der erste Basisvektor laut KI die Matrix nicht lösen.
Wenn der erste Basisvektor im Kern ist, so zeigt dieser mit Multiplikation von A auf den Nullvektor und das sei nicht der Fall, rechnet man das LGS nach, stimmt die Aussage wohl.

Für mich wäre es hilfreich, wenn einer über die Musterlösung schaut und einfach absegnet, hey diese ist doch korrekt, du bist vielleicht einfach nicht so stark im rechnen oder warst etwas nicht ganz bei der Sache.

Achja und zum anderen EW, sollte ich einfach die Matrix dann 3 mal nacheinander mit sich selbst multiplizieren um dann an die Matrix zu kommen um die Basisvektoren des Kerns zu bestimmen ?
Da ich nicht so weit gegangen bin, würde es mir helfen, wenn jemand mein Vorgehen da einmal anmerkt, wenns gleich beim versuch sowieso funktioniert, dann werd ich das hier ebenfalls anmerken.

  
Vielen Dank :)

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Ich bin zwischenzeitlich vom Arbeitstisch weggewesen.

Ich hätte aus folgender Matrix $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & 2 & -8 \\ -1 & -2 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & -1 & 5 \end{pmatrix}$$

folgende Zeilenstufenform erhalten:

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & 2 & -8 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Dann wählte ich $$x_4=t$$

und habe damit den Vektor $$\begin{pmatrix} 0\\-2\\1\\1 \end{pmatrix}$$

erhalten.

Dieser löst nun auch die Matrix am Ende. Weicht aber ab vom eigentlichen aus der Musterlösung.

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Mach die Probe, um zu entscheiden, welcher richtig ist.

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Also,

erst mal ein Link zu einer App

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#chapter/373616

in die Hauptraumzerlegung muss ggf. händisch eingegriffen werden (Kenntnisse in GeoGebra CAS?).

In der Antwort bei (A - λ E)^n ist n=3 das richtet sich nach alg/geom Vielfachheit. Die Jordanzerlegung ist auch nicht eindeutig - aus meiner Rechnung kannst du auch die Vektoren aus Spalte 3 als Basis nehmen.

zur Ergebniskontrolle z.B.

JordanDiagonalization( <Matrix> )

Eigenvalues( <Matrix> )

Eigenvectors( <Matrix> )

https://www.geogebra.org/cas?command=A:={{2,3,1,5}, {0,-3,2,-8}, {-1,-2,-1,-3}, {0,2,-1,5}};JordanDiagonalization(A)

Deshalb prüfst du am besten mit einer Probe wie Mathhilf vorgeschlagen hat.

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Ach, das gehört noch zur selben Aufgabe - Deine Rechnung scheint dann zu passen...

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Ich hatte erst eigentlich vor am Montag mich mit Mathematik auseinander zu setzen.

Ich habe dennoch seit knapp einer Stunde Zeit gefunden und bin deiner ersten Antwort durchgegangen.
Um V Kandidaten auszusuchen hast du die einfach aus der Matrix bestimmt, in dem du geprüft hast welche Vektoren die Gleichungen lösen.

Desweiteren hast du dann dann mit der Kandidaten Matrix die Hauptvektoren bestimmt.

Du hast zwar die ganze Matrix benutzt am Ende war aber nur die erste Spalte von bedeutung. Ich nehme mal an, dass der Hintergrund folgender ist. Die Hauptvektor Bestimmung erfolgt durch eine Matrix Vektor Multiplikation. So können zwar alle Kandidaten in Frage kommen aber spielen wenig eine Rolle weil alle am Ende, oder doch, auf die gleiche Matrix kommen.

Da in der Aufgabe nur die Basen zu bestimmen sind, frage ich mich warum du auch die Diagonalmatrix mit einer (nilpotenten ? ) Matrix erhalten hast.

Naja, ich nehms erstmals so hin und schaue mir weiterhin einige andere Aufgaben an und lese etwas das Buch.

Übrigens, auf dein T komme ich auch, wenn ich den Rechnungen folge. Mir ist vermutlich ein Rechenfehler auf dem Weg zu T^-1 passiert.

Hierzu habe ich T genommen, die Identitätsmatrix angelegt und aus T versucht die Identitätsmatrix zu bestimmen mit elementaren Zeilenumformungen.

Als ich dann T^-1AT versuchte zu rechnen und im ersten Eintrag keine 2 erhalten habe, wie die eigentliche Lösung von dir, so lies ich es sein.

Danke dir dennoch.

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Der Weg ist skizziert mit

\(Suche\, HV ∈ Kern (A-2 id)^N mit\; dim Kern (A-2 id)^N = n ∧ HV ¬∈ Kern (A-2 id)^{N-1} \to N=3\)

Es geht erstmal darum bei Kern(A-λ id)^N=0 N so zuwählen, das man n(=3) Basisvektoren (Kandidaten) gewinnt, entsprechend der Dim n des Eigenraumes zu λ. Von diesen Vektoren sind diejenigen verwendbar die NICHT im Kern(A-λ id)^(N-1)=0 liegen - das stellt sich aber erst mit HV11 heraus - die Vektoren der zweite Spalte liegen im Kern (Nullspalte). Die Spalten 1 oder 3 liefern damit eine Basis!

Man kann die Vektoren natürlich der Reihe nach einzeln behandeln, aber mit dem CAS ist es übersichtlicher gleich alle mitzunehmen. Es kann auch sein, das man auf diesem Weg nicht genügend Basisvektroen findet und man eine 2.Stufe starten muss - möcht ich nicht von Hand rechnen!

Vielleicht machst Du Dich mal mit ggb bekannt und wenn es nur darum geht die Rechnung zu kontrollieren? Die Jordanform berechne ich zu Kontrollzwecken, auch wenn es in Deiner Aufgabe nicht verlagt wird ( auch im CAS schleicht sich schnell mal ein Tippfehler ein).