Basen aller Haupträume bestimmen

Question

Aufgabe:

Ich soll zu einer Matrix die Eigenwerte sowie Basen aller Haupträume bestimmen.

$$ \begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & -2 & 2 & -8 \\-1 & -2 & 0&-3 \\0&2 &-1 &6 \end{pmatrix}$$

Problem/Ansatz:

EW bestimmen ist nicht schwer, zu den Haupträumen habe ich im Skript eine Stelle gefunden aber ich verstehe diese gar nicht und oder wüsste einfach nicht was zu tun ist.

In der gegebenen Musterlösung wird das charakteristische Polynom bestimmt dann kann entnehmen, dass man durch Polynomdivision einen EW bestimmt hat.

Dann werden die Kerne berchnet und mit dem Gauß Algorithmus gelöst.

Kann ich bei solch einer Aufgabe immer so vorgehen ?

Vorallem tritt ein Eigenwert mit einer algebraischen Vielfachheit von 3 auf.

Damit war nach der Polynomdivision ein Polynom 3ten Grades übrig und dieses wurde durch den gleichen Eigenwert gelöst. Daher die algebraische Vielfachheit von 3, ich hoffe ich vertausche hier nicht die beiden Begriffe (algebraisch und geometrisch).

Ich versuche mich mal an die Aufgabe und sehe wie gut ich mit den Ergebnissen der Musterlösung weit komme.

Vielleicht schaffe ich es die selbst komplett zu lösen, was cool wäre. Aber wenn es irgendwann jemanden gibt der vor einer identischen Aufgabe steht und diese nicht lösen kann. Kann meinen Beitrag villeicht finden.

Achja und ich finde, dass generell die Rechenaufgaben nicht so wahnsinnig komplex sind, es ist einfach eher die Literatur die ganz allgemein gefasst ist.

Deswegen stelle ich hier die Frage, ist das ein Vorgehen welches ich immer anwenden kann ? Oder in nahezu allen Fällen ? Ganz besondere Fälle denen ich unwahrscheinlich begegne sind außer Reichweite meines Interessengebietes.

Vielen Dank und viele Grüße

Comments

MIr fiel direkt ein Rechenfehler auf bei der Musterlösung, die Matrix nach beim bestimmen des charakteristischen Polynoms wird mit *(-1) multipliziert und dabei wurden einige Einträge nicht ganz mitgenommen.

Jetzt mag ich nicht die ganze Aufgabe in Frage stellen, vielleicht ist es ja dennoch richtig gerechnet. Sowas finde ich jetzt ärgerlich, weil man sich nicht auf die Musterlösung verlassen kann. ... :/

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Okay, das charakteristische Polynom stimmt doch mit der Musterlösung überein.

Answer 1

Die Fallunterscheidungen können recht aufwändig werden - für dieses Beispiel

\(CharP:=\left(\lambda - 1  \right) \; \left(\lambda - 2  \right)^{3} = 0\)

\(EV \, :=   \left(\begin{array}{rr}0&1\\-2&-2\\1&0\\1&1\\\end{array}\right)\)

\(zu EV_2:\; \lambda=2,\, n=3\\ Suche\, HV ∈ Kern (A-2 id)^N mit\; dim Kern (A-2 id)^N = n ∧ HV ¬∈ Kern (A-2 id)^{N-1} \to N=3\)

\((A - 2 * id)^3 =  \, \left(\begin{array}{rrrr}0&0&0&0\\2&6&4&10\\-1&-3&-2&-5\\-1&-3&-2&-5\\\end{array}\right)\)

\(entwickle\; HVKandidaten\)

\(HVKandidaten \, =  \, \left(\begin{array}{rrr}-3&-2&-5\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{array}\right)\)

 \(HV1 = (A - 2 * id)\, HV1Kandidaten =  \, \left(\begin{array}{rrr}0&-1&0\\-4&2&-8\\1&0&2\\2&-1&4\\\end{array}\right)\)

\(HV11=(A - 2 * id)\, HV1 \, =  \, \left(\begin{array}{rrr}-1&0&-2\\2&0&4\\0&0&0\\-1&0&-2\\\end{array}\right)\)

\(HVKandidaten _2 ∈ Kern \)

\(T=\{HV11_1,HV1_1,HVKandidaten_1,EV_1\} \\ T=   \, \left(\begin{array}{rrrr}-1&0&-3&0\\2&-4&1&-2\\0&1&0&1\\-1&2&0&1\\\end{array}\right)\)

\(T^{-1} A T =  \left(\begin{array}{rrrr}2&1&0&0\\0&2&1&0\\0&0&2&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \)