Kartesisches Produkt von Schnittmenge: A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C )

Question

 wie kann ich das beweisen? kann mir das jemand ausführlich erklären damit ich weiß wie ich solche aufgaben zu lösen habe? es gibt nämlich 3 weiter solche aufgaben die ich dann aber auch selber lösen möchte. bei dieser aufgabe hätte ich gerne , dass alles einzeln gezeigt wird.

ich bedanke mich im voraus

ps : was ist der unterschied zwischen dem kartesischen produkt zweier mengen und der durschnittsmenge zweier mengen?

Comments

' n ' steht für Schnittmenge. Du meinst schon das, oder (?).

Bei den Stichworten hattest du Vereinigung.

A = {1,2,3}, B = {1,b}

Schnittmenge A n B = {1}

Kartesisches Produkt A x B = {(1,1), (1,b), (2,1), (2,b), (3,1), (3,b)}

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ja genau das meine ich , ich hoffe sie können mir helfen

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vielen dank! können sie mir auch beim beweisen der oben gestellten gleichung helfen? ich komme dort gar nicht weiter

Answer 1

Ich gehe an solche Beweise gerne so heran, dass ich die Mengenschreibweisen der beiden Ausdrücke, deren Gleichheit nachgewiesen werden soll, hinschreibe und dann versuche, diese Schreibweisen einander "anzunähern".

Also:

A x ( B ∩ C ) = { ( x , y ) | ( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C ) }

und

( A x B ) ∩ ( A x C ) = { ( x , y ) | ( x ∈ A ∧ y ∈ B ) ∧ ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) }

Klammert man nun aus dem zweiten Ausdruck x ∈ A aus, so erhält man

= { ( x , y ) | ( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C ) }

und das ist gerade die Mengenschreibweise des ersten Ausdrucks.

Insgesamt kann man also hinschreiben:

A x ( B ∩ C )

= { ( x , y ) | ( x ∈ A ) ∧ ( y ∈ B ∧ y ∈ C ) }

= { ( x , y ) | ( x ∈ A ∧ y ∈ B ) ∧ ( x ∈ A ∧ y ∈ C ) }

 = ( A x B ) ∩ ( A x C )