Berechnung maximaler Prämie bei Teilversicherung

Question

Aufgabe:

Renate führt ein Hotel in Griechenland. Die Wahrscheinlichkeit, dsss ein Waldbrand in der Nähe ihres Hotels ausbricht, beträgt 0.2. Mit Wahrscheinlichkeit 0.8 brennt es nicht. Wenn es nicht brennt, so ist das Hotel 300 GE wert. Wenn es brennt, nur mehr 20 GE. Renates einziges Vermögen ist das Hotel.

Renate kann eine Brandschutzversicherung abschließen, die im Schadensfall 200 GE ausbezahl. (Achtung Teilversicherung). Die Versicherungsprämie beträgt M GE. Diese muss sie bezahlen, egal ob der Brand eintritt oder nicht. Ihre Nutzenfunktion sei gegeben durch u(w) = √(w) wobei w ihr realisiertes Vermögen ist.

Berechne den Erwartungsnutzen ohne Versicherung und die maximale Prämie M, für die Renate die Versicherung abschließen würde.

Problem/Ansatz:

Hallo :)) ich hänge leider ein bisschen bei dieser Aufgabe...

Den Erwartungsnutzen habe ich schon berechnet: ca. 14.75

Bei der Prämie M tue ich mir aber schwer, da es sich nicht um eine Vollversicherung handelt.

Ich hätte es so probiert: 0.8 * √(300 - M) + 0.2 * √(220 - M) >= 14.75

Das Ergebnis passt aber nicht zu den Antwortmöglichkeiten bzw. ich weiß auch nicht, wie ich so nach M auflöse... Könnte mir vielleicht jemand helfen?

Comments

Ist 65,09 GE (gerundet) eine der angebotenen Antworten?

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Sehe ich auch so.

\(\displaystyle \underbrace{0,8 \cdot \underbrace{_{\vphantom{\big|}}\sqrt{300-M}}_{\substack{\text{Nutzen wenn} \\\\ \text{kein Brand}}}+0,2 \cdot \underbrace{_{\vphantom{\big|}}\sqrt{20+200-M}}_{\text{Nutzen wenn Brand}}}_{\text{Erwartungsnutzen mit Versicherung}} \; = \; \underbrace{0,8 \cdot \underbrace{_{\vphantom{\big|}}\sqrt{300}}_{\substack{\text{kein} \\\\ \text{Brand}}}+0,2 \cdot \underbrace{_{\vphantom{\big|}}\sqrt{20}}_{\text{Brand}}}_{\text{Erwartungsnutzen unversichert}} \)

\( \displaystyle \Longrightarrow M \approx 65,09 \) 

weiß auch nicht wie ich so nach M auflöse...

Am einfachsten numerisch. Beispielsweise mit Zielwertsuche bei Tabellenkalkulation:

Schreibe das links vom Gleichheitszeichen in Zelle A1, ersetze dabei M mit "A4".
Schreibe das rechts vom Gleichheitszeichen in Zelle A2.
Schreibe +A1-A2 in Zelle A3.
Setze den Zielwert für A3 auf Null und als unabhängige Variable die Zelle A4.
Es wird Dir dann die Lösung für M in A4 anzeigen.

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Danke euch! Vielleicht ist dann die Lösung, die ich online gefunden habe falsch. Lg Sophia:))

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Du hast ja hier eine Lösung "online gefunden". :)

Aber Dein Kommentar beantwortet nicht die Frage von user26605.

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65,09 war tatsächlich keine Antwortmöglichkeit, aber es gab eine mit “keine der Antworten ist richtig”. Dann nehme ich an wird diese richtig sein.. Danke für eure Hilfe!

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Ok, noch zur Frage wie löst man so etwas?

Der typische Weg (wir lösen jetzt die Gleichung) ist quadrieren, das gibt links zwei Terme ohne Wurzel und einen gemischten Term mit Wurzel. Dann isolieren wir die Wurzel auf eine Seite und quadrieren wieder. Nun haben wir keine Wurzel mehr und dafür eine quadratische Gleichung in M. Diese lösen wir auf die übliche Art, überlegen welche der beiden Lösungen in Frage kommt und sind fertig.

Alles ziemlich lästige Rechnerei aber geht.

(In diesem speziellen Fall ginge es noch einen Tick schneller, um zur quadratischen Gleichung zu kommen, aber das nur nebenbei).

Answer 1

Du liegst fast richtig: Dein Ansatz mit

0.8 * √(300 − M) + 0.2 * √(220 − M) ≥ 14.75

ist korrekt. Die Gleichung lässt sich aber nicht einfach algebraisch nach M auflösen, weil die Wurzeln unterschiedlich sind. Am besten probierst du ein paar Werte für M:
• M = 0: 0.8 * √300 + 0.2 * √220 ≈ 16.8 > 14.75
• M = 50: 0.8 * √250 + 0.2 * √170 ≈ 14.72 ≈ 14.75

Damit erkennt man, dass Renate maximal etwa 50 GE als Prämie zahlen würde. Alles darunter würde ihren Nutzen erhöhen, alles darüber wäre zu teuer.

Comments

Die Gleichung lässt sich aber nicht einfach algebraisch nach M auflösen

Es ist keine Gleichung, sondern eine Ungleichung, und man könnte sie auch exakt lösen.

maximal etwa 50 GE als Prämie

Dass es eher 65 sind, wurde ja schon weiter oben geschrieben.

alles darüber wäre zu teuer.

Es kommt nicht nur auf den Nutzen an, sondern auch auf die Risikoaversion. Davon leben Versicherer.