Aufgabe:
"Untersuchen Sie, ob die nachstehenden Funktionen an einer Stelle x₀ einen Grenzwert besitzen. Geben Sie angegebenen ε eine passende "lückenhafte" δ-Umgebung."
Quelle: Lothar Kusch, Heinz Jung, Karlheinz Rüdiger: Kusch Mathematik 3 - Differentialrechnung Aufgabensammlung und Lösungen, Auflage 9, 1995, Berlin, Cornelsen Verlag, Seite 113, Aufgabe 7
f(x) = \( \frac{3x + 2}{2x + 3} \)
x₀ = -1,5 | ε = 0,02
Problem/Ansatz:
Hallo Zusammen, mein Problem ist die nachfolgende Aufgabe. Im Buch "Kusch 3 - Differentialrechnung" wird zum Vorgehen der oben stehenden Aufgabe geschrieben, dass man zunächst versucht von links und rechts so nach wie möglich an x₀ nähern soll. Der Wert zwischen diesen beiden ermittelten y-Wert ist dann der g-Wert. Mit ε= 0,01 wird nun g - ε und g + ε (= Uε) eine Range erstellt. Diese spiegelt sich auf der x-Achse um x₀ in x - δ und x + δ (=Uδ). Zu jedem Wert von Uε muss es lückenhaft auch einen Wert Uδ geben. Im Buch wird auf der Folgeseite beschrieben, dass es z.B. bei \( \frac{1}{x} \) das Problem gibt, dass es zwar zu g + ε einen passenden x + δ gibt, aber zu x - δ keinen passenden g - ε. Ich hätte hier gerne eine Grafik zur Verfügung gestellt, die mein Problem genauer erklärt, aber das geht leider nicht. Generell habe ich das Problem verstanden, wenn auch keine einziges Beispiel im Buch hierzu gezeigt wird. Dafür hat es direkt die erste oben aufgeführte Aufgabe für mich in sich.
Die Lösung im Buch geht wie folgt:
f(x) = \( \frac{3x + 2}{2x + 3} \) ; x ∈ ℝ \ { -1,5 }
= (3x + 2) : (2x + 3) = 1,5 - \( \frac{2,5}{2x + 3} \)
= 1,5 - \( \frac{5}{4} \) * \( \frac{1}{x + 1,5} \)
⇒ Wo kommt der Wert 1,5 an dieser Stelle her??? Auf die Koordinatentransformation wird erst in den nächsten Zeilen eingegangen. Ich verstehe auch die Aktion mit (3x + 2) : (2x + 3) nicht. Warum hat man an dieser Stelle den Bruch kurz aufgelöst?
Die Untersuchung vereinfacht sich, wenn man durch x = x + 1,5 und y = y - 1,5 eine Koordinatentransformation durchführt.
x´ = x + 1,5
y´ = y - 1,5
→ y = f(x)
y´= f(x) - 1,5 → x = x´- 1,5
= f(x´- 1,5) - 1,5 → f(x) = 1,5 = \( \frac{5}{4} \) * \( \frac{1}{x + 1,5} \)
= 1,5 - \frac{5}{4} * \( \frac{1}{x´ + 1,5 - 1,5} \) - 1,5
Durch die Koordinatentransformation wird die Stelle x₀ = -1,5 auf die Stelle x´0 = 0 transformiert.
= Hier kann ich die rot markierte -1,5 nicht nachvollziehen. Wenn ich x gegen x´ tausche, dann wird (x -1,5) zu (x´ -1,5 + 1,5). Dieser Wert kann auch nicht von y´ = y -1,5 kommen, da er in diesem Fall positiv hätte sein müssen, wenn ich ihn auf die andere Seite nehme.
= - \( \frac{5}{4} \) * \( \frac{1}{x´} \) → h(x´) = y´
= h(x`) = - \( \frac{5}{4} \) * \( \frac{1}{x´} \) ; x´ ∈ ℝ≠0
Generell stellt sich mir allerdings auch die Frage, warum ich überhaupt die Koordinatentransformation durchführen soll. Die Verschiebung bringt mir doch eigentlich für die Untersuchung der ursprünglichen Stelle x₀ nichts, da ich jetzt eine ganz andere Stelle betrachte.
Ich würde mich sehr freuen und wäre auch sehr dankbar, wenn ihr mir bei meinem oben stehenden Problem helfen könntet und mir darüber hinaus denn Sinn der Koordinatentransformation näher bringen könntet.
Viele Grüße
Thorsten
