Wann ist der Hochbehälter leer? Erklärung, warum der Lösungsansatz zum Ergebis führt

Question

Aufgabe:

Die Höhe des Wasserstandes in einem Hochbehälter, welcher entleert wird, wird beschrieben durch die Funktion

h(t) = t2 - 2t + 8 (t in min, h in m).

a) Zeichnen Sie den Graphen von h.

b) Wann ist der Hochbehälter leer?

c) Wann ist der Behälter zur Hälfte leer bzw. nur noch 1/4 gefüllt?

d) Wie groß ist die Sinkgeschwindigkeit des Wassers im Durchschnitt?

Problem/Ansatz:

Also: Mir geht es hier vor allem um die c) (die andfen Aufgaben sind aber auch relevant)

Ich habe sie gelöst in dem ich

4 = 1/8t^2 - 2t + 8 zu

0 = t^2 - 16t + 32 umgeformt habe und dann die pq Formel angewendet habe.

Dabei habe ich

x1 ≈ 13,66 (unlogisch da über 8) und x ≈ 2,34 raus -> gesuchte Zeit raus.

Ich verstehe aber nicht warum überhaupt durch die pq Formel die eine Nullstelle,die raus kommt, die gesuchte Zeit ist. Mir geht es also nicht unbedingt um die Lösung der Aufgabe, sondern um eine logische nachvollziehbare Erklärung, warum überhaupt der Lösungsansatz zu dem Ergebnis führt und warum eine der Nullstellen das Ergebnis ist

Vielen Dank im Voraus!

Comments

Wie lautet h(t) korrekt oder anders gefragt, wo kommen die ..=1/8t² … weiter unten her?

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h(t)= 1/8t^2-2t+8 (t in min, h in m)

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Ok, dann ist es oben falsch geschrieben.

Dein Ansatz ist richtig. Du willst bestimmen, wann der Funktionswert gleich der Hälfte des Startwertes ist. Nach Umformen ergibt sich eine quadratische Gleichung, die Du löst. Das dies die Nullstellen einer neuen Funktion (das ist jetzt nicht mehr h(t)!) sind, lenkt nur ab.

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Gewöhne dir an, die Aufgabe VOLLSTÄNDIG und FEHLERFREI zu posten.

1)

h(t)=t2-2t+8 (t in min, h in m).

und später

1/8t2 -2t +8

Finde den Fehler.

2)

(unlogisch da über 8)

Allerdings ist in deiner geposteten Aufgabenstellung nirgendwo eine Beschränkung auf t≤8 zu lesen.

Zu deiner eigentlichen Frage:

Die Gleichung 4= 1/8t² -2t +8 hat, da du sie äquivalent umgeformt hast, die gleichen Lösungen wie 0=t²-16t+32.

Und die Lösungen von 0=t²-16t+32 entsprechen nun mal den Nullstellen der Funktion f(t)=t²-16t+32.

Die Nullstellen von f(t) sind sozusagen auch die "Hier gilt h(t)=4"-Stellen von h(t).

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Vielen Dank!

Answer 1

h(t) = 1/8·t^2 - 2·t + 8 (t in min, h in m)

Mache zunächst eine Wertetabelle und skizziere den Graphen.

Jetzt kannst du die meisten Fragen schon am Graphen näherungsweise beantworten.

~plot~ 1/8x^2-2x+8;;4;[[0|15|0|8]] ~plot~

Du suchst mit deiner Gleichung nach den Werten von x an denen die Funktion den Wert 4 annimmt.

Da kannst du auch im Graphen 2 Stellen ablesen.

Comments

1/8·t^2 - 2·t + 8 = 4

1/8·t^2 - 2·t + 4 = 0

t^2 - 16·t + 32 = 0

t = 8 - √32 ≈ 2.343 min

t = 8 + √32 > 8 entfällt

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t = 8 + √32 > 8 entfällt

Warum entfällt das???

Solange nicht explizit auf t≤8 eingeschränkt wird muss man davon ausgehen, dass h(t) auch für t>8 definiert ist. Es kann doch durchaus sein, dass dann wieder Wasser zugeführt wird.

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Die Einschränkung kommt davon, dass

h(0)= 8 ist und die Aufgabe speziell von einer Entleerung spricht. Ich hätte vielleicht dazu sagen sollen, dass die Aufgabe speziell nur von einer Entleerung spricht

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Vielen Dank!

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Die Einschränkung kommt davon, dass
h(0)= 8 ist und die Aufgabe speziell von einer Entleerung spricht. Ich hätte vielleicht dazu sagen sollen, dass die Aufgabe speziell nur von einer Entleerung spricht

Völlig korrekt. Es geht nur um eine Entleerung. Damit ist der Definitionsbereich automatisch bis zu der Zeit beschränkt, in dem der Hochbehälter leer ist.

Vermutlich sind Studierte zu schlau für solche Schulaufgaben.