Hallo Zusammen,
ich habe eine Frage zum Beweis der Cramer-Rao-Schranke.
Wie kommt man auf die markierte Kovarianz am ende? Man muss wahrscheinlich ausnutzen, dass der Erwartungswert der Score Funktion 0 ist, aber wie ich dann auf die Kovarianz komme, ist mir gerade nicht schlüssig.
(Cramér-Rao-Schranke). Sei \( \left(X,\left(\mathbf{P}_{\vartheta}\right)_{\vartheta \in \Theta}\right. \) ) ein statistisches Modell und \( \vartheta \mapsto \mathcal{I}(\vartheta) \) die Fisher-Information. Ist \( t: S \rightarrow \mathbb{R} \), so dass \( \mathbf{V}_{\vartheta}[t(X)]<\infty \) für alle \( \vartheta \in \Theta \) und \( \Psi(\vartheta):=\mathbf{E}_{\vartheta}[t(X)] \). Sind die Bedingungen aus Definition 11.21 erfüllt, so ist \( \Psi \) differenzierbar und es gilt
\( \mathbf{V}_{\vartheta}[t(X)] \geq \frac{\left(\Psi^{\prime}(\vartheta)\right)^{2}}{\mathcal{I}(\vartheta)}, \quad \vartheta \in \Theta \)
Ist also insbesondere \( t \) ein unverzerrter Schätzer für \( \vartheta \), so gilt
\( \mathbf{V}_{\vartheta}[t(X)] \geq \frac{1}{\mathcal{I}(\vartheta)}, \quad \vartheta \in \Theta \)
Gilt Gleichheit, so ist \( t(X) \) also ein UMVUE und heißt auch effizient.
Beweis. Wir führen den Beweis im Fall kontinuierlicher \( \mathbf{P}_{\vartheta}, \vartheta \), d.h. \( X_{*} \mathbf{P}_{\vartheta} \) hat die Dichte \( p_{\vartheta} \), \( \vartheta \in \Theta \). Zunächst ist
\( \Psi^{\prime}(\vartheta)=\frac{\partial}{\partial \vartheta} \int t(x) p_{\vartheta}(x) d x=\int t(x) \frac{\partial}{\partial \vartheta} p_{\vartheta}(x) d x=\mathbf{E}_{\vartheta}\left[\frac{\partial}{\partial \vartheta} t(X) \log p_{\vartheta}(X)\right] \)
\( \begin{aligned} \left(\Psi^{\prime}(\vartheta)\right)^{2} & =\left(\mathbf{E}_{\vartheta}\left[t(X) \frac{\partial}{\partial \vartheta} \log p_{\vartheta}(X)\right]\right)^{2}=\boxed{\mathbf{C O V}_{\vartheta}\left[t(X), \frac{\partial}{\partial \vartheta} \log p_{\vartheta}(X)\right]^{2}} \\ & \leq \mathbf{V}_{\vartheta}[t(X)] \cdot \mathbf{V}_{\vartheta}\left[\frac{\partial}{\partial \vartheta} \log p_{\vartheta}(X)\right]=\mathbf{V}_{\vartheta}[t(X)] \cdot \mathcal{I}(\vartheta) \end{aligned} \)
