Negative Vorfaktoren unter die Wurzel nehmen

Question

Text erkannt:

Bei negativen Vorfaktoren ist zu berücksichtigen, dass man nur den Betrag des Vorfaktors unter die Wurzel holen kann, denn der Radikand darf auch bei ungeraden Wurzelexponenten nicht negativ werden. Vor die Wurzel muss ein Minuszeichen gesetzt werden:
\( a<0, n \text { ungerade: } \quad a \cdot \sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{|a|^{n}} \cdot \sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{|a|^{n} \cdot b}=-\sqrt[n]{-a^{n} \cdot b} \)

Beispiel:
2.162 a) \( -5 \cdot \sqrt{11}=-\sqrt{5^{2} \cdot 11}=-\sqrt{275} \)
b) \( -2 \cdot \sqrt[3]{10}=-\sqrt[3]{2^{3} \cdot 10}=-\sqrt[3]{80} \)

Verlag Harri Deutsch - Kreul, Ziebarth: Mathematik leicht gemacht - ISBN: 978-3-8171-1836-6

Comments

Du siehst ja am ersten Beispiel, dass man auch für gerades n den Betrag des Vorfaktors unter die Wurzel ziehen kann.

In dieser Gleichung (ich nehme an es wurde vorher b>0 definiert):

\( a<0, n \) ungerade : \( \quad a \cdot \sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{|a|^{n}} \cdot \sqrt[n]{b}=-\sqrt[n]{|a|^{n} \cdot b}=-\sqrt[n]{-a^{n} \cdot b} \)

Ist n ungerade erst beim letzten Schritt erforderlich, den nur dann ist die Umformung (a<0 !)

Ι a lⁿ = \( (-a)^{n} \)  = - \( a^{n} \)

richtig.

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Hier findest du etwas zum Thema:

https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_negativen_Zahlen

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Zu Deiner Rechnung:

\( -\sqrt[n]{|a| \cdot b}=-\sqrt[n]{-a^{n} \cdot b} \). Denn damit neutralisiert sich doch der negative Vorfaktor.

Nein, tut er nicht denn unter der Wurzel steht insgesamt eine positive Zahl, da a negativ ist, ist auch a³ negativ und letzlich -a³ dann positiv.

\( -\sqrt[3]{|-2|^{3} \cdot 27}=-\sqrt[3]{-2^{3} \cdot 27}=-\sqrt[3]{-216}=6 \)

Hier ist der zweite Schritt falsch, denn der Betrag einer Zahl ist immer positiv, also I -2 l = 2 und damit ist das Ergebnis -6.

Answer 1

In deinem Auszug steht nicht, dass \(n\) ungerade erforderlich ist. Es wird ja zu beiden Fällen ein Beispiel aufgezeigt. Es wird nur entsprechend betont, dass man auch (im Sinne von selbst bzw. selbst wenn) bei \(n\) ungerade auch keinen negativen Radikanden haben darf, weil Ausdrücke wie \(\sqrt[3]{-8}\) nicht definiert sind.

Deine Rechnung ist nicht richtig und ja, laut Auszug wird Negatives unter der Wurzel von vornherein ausgeschlossen, eben weil es nicht definiert ist.

Es gilt \(|a|^n=-a^n\) für \(a<0\), zum Beispiel \(|-2|^3=-(-2)^3=-(-8)=8\), da der Betrag ja stets positiv ist und somit entsprechend auch jede Potenz davon. In deiner Rechnung schreibst du jedoch \(-2^3\) unter die Wurzel, was nicht stimmt.

Comments

Deine Rechnung ist nicht richtig (...)

Welche Rechnung? Ich sehe da nur einen Buchauszug.

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Des Fragestellers Überlegungen stehen (maschinengeschrieben) über dem Buchauszug.

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Aha, danke. Jetzt sehe ich es auch.