Mit \(z=\sqrt[3]{4a}\) gilt \(z^2=\sqrt[3]{16a^2}=2\sqrt[3]{2a^2}\).
Die Gleichung vereinfacht sich zu \(\frac{1}{2}z^2-z-1=0\). Die pq-Formel liefert \(z=1\pm\sqrt{3}\) als Lösungen. Wegen \(a\geq 0\) (die Gleichung ist sonst nicht definiert) ist auch \(z\geq 0\) und damit kommt nur \(z=1+\sqrt{3}\) in Frage.
Rücksubstitution liefert \(a=\frac{z^3}{4}=\frac{(1+\sqrt{3})^3}{4}=\frac{1+9+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{4}=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}\).
