Die Summe der Maßzahlen eines Würfels

Question

Löse hilfsmittelfrei: Die Summe der Maßzahlen von Volumen, Oberfläche und Gesamtkantenlänge eines Würfels beträgt 1323. Welche Kantenlänge hat der Würfel?

Answer 1

\( \displaystyle x^3+6x^2+12x = 1323 \)

\( \displaystyle x^3+\underbrace{6}_{a}x^2+\underbrace{12}_{b}x\quad \underbrace{- 1323}_{c}=0 \)

\( \displaystyle \underbrace{\left(x+\frac{a\vphantom{a^2}}{3}\right)^{3}}_{z^3} + \underbrace{\left(b-\frac{a^2}{3}\right)}_{p} \cdot \underbrace{\left(x+\frac{a\vphantom{a^2}}{3}\right)}_{z} + \underbrace{\left(\frac{2 a^{3}}{27}-\frac{a b}{3}+c\right)}_{q} = 0 \)

\(\displaystyle z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}} \)

\( \displaystyle x=z-\frac{a}{3} = 9\)

Comments

x muß ein Teiler von 1323 = 3³ * 7² sein, man probiere der Größe nach aus, der dritte Wert ist es schon.

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Es geht also auch schlauer :)

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Viel zu aufwändig.

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Na ja, wenn man will kann man abschätzen, dass die Lösung um die 10 herum liegen muß wegen der dritten Potenz, sonst ist es zu klein oder zu groß. Also fängt man mit 9 an.

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Woher weiß man, dass es eine ganze Zahl sein muss?

Wegen "hilfsmittelfrei"?

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Woher weiß man, dass es eine ganze Zahl sein muss?

Das weiß man erstmal nicht.

Da die Funktion y = x^3 + 6x^2 + 12x - 1323 allerdings streng monoton steigend ist, kann man, wenn die Lösung nicht ganzzahlig wäre, zumindest sehr leicht eingrenzen zwischen welchen ganzen Zahlen die Lösung liegen muss.

Allerdings merkt man ja schon das 9 eine passende ganzzahlige Lösung ist, womit sich ein Näherungsverfahren dann erübrigt.