Berechne hilfsmittelfrei die Summe

Question

Berechne hilfsmittelfrei: \( \frac{1}{\sqrt{121}+\sqrt{122}} \)+ \( \frac{1}{\sqrt{122}+\sqrt{123}} \)+ \( \frac{1}{\sqrt{123}+\sqrt{124}} \)+ ... + \( \frac{1}{\sqrt{438}+\sqrt{439}} \)+ \( \frac{1}{\sqrt{439}+\sqrt{440}} \)+ \( \frac{1}{\sqrt{440}+\sqrt{441}} \).

Answer 1

Vereinfache:

1/(√k + √(k + 1)) = √(k + 1) - √k

Der Rest ist dann eine Teleskopsumme.

1/(√121 + √122) + 1/(√122 + √123) + ... + 1/(√440 + √441)
= √122 - √121 + √123 - √122 + ... + √441 - √440
= √441 - √121
= 21 - 11
= 10

Comments

Ich bin nicht sicher, ob Roland mit "hilfsmittelfrei" "ohne LaTeX" gemeint hat.

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Für die, die es ohne "LaTex" nicht lesen können. Ich habe es mir einfach gemacht und habe ChatGPT es mit Latex setzen lassen.

Vereinfache:

\( \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k} \)

Der Rest ist dann eine Teleskopsumme.

\( \frac{1}{\sqrt{121}+\sqrt{122}}+\frac{1}{\sqrt{122}+\sqrt{123}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{440}+\sqrt{441}} \)

\( =(\sqrt{122}-\sqrt{121})+(\sqrt{123}-\sqrt{122})+\cdots+(\sqrt{441}-\sqrt{440}) \)

\( =\sqrt{441}-\sqrt{121} \)

\( =21-11=10 \)

Answer 2

Wegen \( \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \) ergibt sich \(\sqrt{441}-\sqrt{121}=21-11=10\).