Bestimmen Sie, für welches Scharparameter a die Funktionsgraphen h und fa genau einen Schnittpunkt besitzen.

Question

Hallo zusammen,

ich komme mit dieser Aufgabe gerade leider nicht weiter.

Aufgabe (ohne Hilfsmittel): Sei a € R, a ≠ 0. Gegeben ist die Funktion h(x) = 2/3x^3 + 8/9. Bestimmen Sie, für welches Scharparameter a die Funktionsgraphen h und fa genau einen Schnittpunkt besitzen. fa(x) = 2/3x^3 +2ax^2 -6a^2*x.

Mein Lösungansatz war es erstmal fa(x) mit h(x) gleichzusetzen:

fa(x) = h(x)

2/3x^3 +2ax^2 -6a^2*x = 2/3x^3 + 8/9 | -2/3x^3
2ax² -6a^2*x = 8/9 | -8/9
2ax^2  -6a^2*x -8/9 = 0 | :2a
x^2 - 3ax -4/9a | pq Formel

3a/2 +- √9a^2/4 +4/9a.



Die Musterlösung hat das genauso gemacht:
2/3 x³ + 2ax² - 6a²x = 2/3 x³ + 8/9 ⇔ 0 = 2ax² - 6a²x - 8/9 ⇔ 0 
                                      = x² - 3ax - 4/9a

x = 3a/2 ± √(9a²/4 + 4/9a)

Fallunterscheidung:

Genau einen Schnittpunkt ⇔ √(9a²/4 + 4/9a) = 0

⇔ 9a²/4 = -4/9a ⇔ 81a³ = -16 ⇔ a³ = -∛(16/81)


Ich verstehe leider aber die darauffolgende Fallunterscheidung nicht ganz. Also, ich verstehe nicht wieso die Musterlösung die Diskriminante dann = 0 gesetzt hat und auch die restliche Berechnung des Scharparameters a ist mir nicht wirklich ersichtlich.

Danke im Voraus!

Comments

Guten Abend. Heißt es in der Angabe tatsächlich

für welches Scharparameter a

?

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Ja, ist dies eine ungewöhnliche Aufgabenstellung?

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Nein, lediglich sprachlich falsch. Ich frage mich allerdings, welchen Mehrwert ein solcher Kommentar haben soll...

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Die Musterlösung hat das genauso gemacht:

Hoffentlich nicht.

Du hast durch 2a geteilt ohne darüber nachzudenken, ob du das in der Situation überhaupt tun darfst.

Deine Nachlässigkeit blieb glücklicherweise ohne Folgen, weil der separat zu betrachtende Fall a=0 hier zu keiner Lösung führt.

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a ≠ 0.

Der Fall \(a=0\) muss folglich also nicht beachtet werden. Ich finde es auch vollkommen in Ordnung, wenn man dann stillschweigend durch \(a\) teilt.

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Man könnte dann auch noch in "a € R" hinterfragen, warum da das Euro-Symbol steht (und R ohne Doppelstrich).

Answer 1

Wenn es nur einen Schnittpunkt geben soll (so lautet die Aufgabe), dann darf es nur eine Lösung für die quadratische Gleichung geben. Das ist aber immer dann der Fall, wenn die Diskriminante gleich Null ist. Daher wird einfach die Diskriminante gleich Null gesetzt und damit der Parameter ermittelt.

In der Gleichung \(\frac{9a^2}{4}+\frac{4}{9a}=0\) multipliziere einmal mit \(a\). Die Lösung lässt dort viele Rechenschritte weg. Deswegen rechne es selbst nochmal nach.

Comments

Danke sehr!

Ich bin jetzt zu diesem Ergebnis gekommen:

Da an dem Parameter genau ein Schnittpunkt ist muss die Diskriminante D = 0 sein (D>0 zwei SP, D = 0 1 Sp, D<0 kein SP)

9a^2/4 + 4/9a = 0 I -4/9a
9a^2/4 = -4/9a I *36a (Vielfaches von 4 und 9a)
36a 9a^2 / 4 = 36a * (-4) /9a
9a * 9a^2 = 4 * (-4)
81a^3 = -16 I :81
A^3 = -16/81 I ∛
A = -∛16/81

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Da an dem Parameter genau ein Schnittpunkt ist

Die Formulierung ist sehr unglücklich.

Die Rechnung sieht doch soweit gut aus. Schön, dass du direkt mit dem Hauptnenner multipliziert hast. :)

Achte bei Wurzeln bitte darauf, den Radikanden in Klammern zu setzen, wie es oben in der Lösung der Fall ist. Das gleiche für Ausdrücke, die im Nenner stehen.

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Danke, die Formulierung habe ich verbessert und das mit den Klammern merke ich mir (wusste nicht wie man mathematisch am PC schreibt).