Folgende Ungleichungen sollen gelten

Question

Aufgabe: Wir sollen zeigen, dass für alle \( k \geq 1 \) für diese Quadrat- bzw. Dezimalzahlen stets die folgenden Ungleichungen gelten:

 \( \underbrace{66 \ldots 66^{2}}_{k \text { Zifferm } 6}<\underbrace{44 \ldots 41}_{2 k-1 \text { Ziffern } 4}<\underbrace{66 \ldots 667^{2}}_{k-1 \text { Ziffern } 6} \),

Problem/Ansatz:

Ich dachte zuerst an Vollständige Induktion bzgl. k, für k=1 ist das ja erfüllt, kam dann aber im Ind. Schluß nicht weiter.

Answer 1

Beachte

\(x=666\ldots6=\frac{2}{3}(10^k-1)\),

\(y=666\ldots7=\frac{2}{3}(10^k-1)+1\) und

\(z=44\ldots441=4\sum\limits_{i=0}^{2k-1}10^i-3=\frac{4}{9}(10^{2k}-1)-3\) (geometrische Reihe).

Es gilt außerdem (dritte binomische Formel): \(y^2-x^2=2x+1\), da \(y=x+1\) gilt.

Zeige also:

1) \(z-x^2>0\)

2) \(z-x^2<2x+1\)

Das ist nur Rechnerei und geht ganz ohne vollständiger Induktion.

Answer 2

Für k = 3 ergibt sich

666^2 < 444441

Für ein beliebiges k ergibt sich

4/9·(10^(2·k) - 2·10^k + 1) < 4/9·(10^(2·k) - 10)

Ich denke, dass wäre für k ≥ 1 recht leicht zu zeigen.

Dabei habe ich jetzt verwendet, dass eine Zahl aus k Einsen geschrieben werden kann als 1/9·(10^k - 1). Das kann man aber auch noch herleiten, wenn man möchte.

Dann müsste man natürlich noch den rechten Teil der Ungleichung zeigen. Das würde ich ähnlich machen bzw. mit der binomischen Formel hantieren.