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Π k^k < n^ (n(n+1))/2 

Für welche n ∈ N gelten die folgenden Ungleichungen?


Bild Mathematik


Danke im Voraus,


Schöne Grüße

von

3 Antworten

+5 Daumen

Hi

hier mal eine alternative Lösung.

für \( n \geq 2\) beachte:

$$ \Large \prod_{k=1}^n k^k < \prod_{k=1}^nn^k = n^{\sum \limits_{k=1}^n k} = n^{\frac{n(n+1)}{2}} $$

Gruß

von 24 k
+1 Daumen

Hi, die zu beweisende Ungleichung gilt sicher nicht für \( n = 1 \) wie man leicht ausrechnet, weil dann gelten müsste \( 1 < 1 \) was ja nicht richtig ist. Für \( n = 2 \) gilt die Ungleichung.
Der Beweis das die Ungleichung für alle \( n \ge 2 \) gilt, wird nun über Induktion über \( n \) geführt. Allerdings logarithmiere ich die Ungleichung zuerst, was  zu folgender Ungleichung führt.
$$ (1) \quad \sum_{k=1}^{n} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{n(n+1)}{2} \cdot ln(n) $$
Zu zeigen ist also
$$ (2) \quad \sum_{k=1}^{n+1} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{(n+1)(n+2)}{2} \cdot ln(n+1)  $$
Die linke Seite von (2) ergibt mit der Induktionsvoraussetzung
$$ (3) \quad \sum_{k=1}^{n+1} \left[ k \cdot ln(k) \right] < \frac{n(n+1)}{2} \cdot ln(n) + (n+1)\cdot ln(n+1) $$
$$ < (n+1) \cdot ln(n+1) \left[ \frac{n}{2} + 1 \right] $$ was zu beweisen war.

von 33 k

habe vergessen zu sagen, der Prof möchte das ohne ln(). Wie würde es dann gehen, ln() ist noch nicht definiert in unserer Vorlesung. Mit Induktionsprinzip möchte er das gemacht haben.


Danke, 

Schöne Grüße

+1 Daumen

Du kannst über vollständige Induktion zeigen, dass es für n >= 2 gilt.

Zeige also zunächst das es für n = 2 gilt.

Zeige danach das es für n + 1 gilt, wenn es auch für n gilt.

von 386 k 🚀

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