Folgende Ungleichungen sollen gelten

Question

Aufgabe: Wir sollen zeigen, dass für alle \( k \geq 1 \) für diese Quadrat- bzw. Dezimalzahlen stets die folgenden Ungleichungen gelten:

 \( \underbrace{66 \ldots 66^{2}}_{k \text { Zifferm } 6}<\underbrace{44 \ldots 41}_{2 k-1 \text { Ziffern } 4}<\underbrace{66 \ldots 667^{2}}_{k-1 \text { Ziffern } 6} \),

Problem/Ansatz:

Ich dachte zuerst an Vollständige Induktion bzgl. k, für k=1 ist das ja erfüllt, kam dann aber im Ind. Schluß nicht weiter.

Comments

Ich habe es nach den Antworten jetzt so gerechnet:

A) \( \underbrace{66 \cdots 66}_{k}=6 \cdot \underbrace{11 \cdots 11}_{k}=\frac{6}{9} \cdot \underbrace{99 \cdots 99}_{k}=\frac{6}{9}\left(10^{k}-1\right)=\frac{6 \cdot 10^{k}-6}{9} \)
B) \( \underbrace{66 \cdots 6}_{k-1}7=\underbrace{66 \cdots 66}_{k}+1=\frac{6 \cdot 10^{k}-6}{9}+\frac{9}{9}=\frac{6 \cdot 10^{k}+3}{9} \)
C) \( \underbrace{44 \cdots 44}_{2 k-1}1=\underbrace{44 \cdots 44}_{2 k}-3=4 \cdot \underbrace{11 \cdots 11}_{2 k}-3=\frac{4}{9} \cdot \underbrace{99 \cdots 99}_{2 k}-\frac{27}{9}=\\ \frac{4 \cdot\left(10^{2 k}-1\right)-27}{9}=\frac{4 \cdot 10^{2 k}-31}{9} \)

Damit ist für k ≥ 1 zu zeigen:

\( \begin{array}{l}\left(\frac{6 \cdot 10^{k}-6}{9}\right)^{2}<\frac{4 \cdot 10^{2k}-31}{9}<\left(\frac{6 \cdot 10^{k}+3}{9}\right) \\ \Leftrightarrow \\ \left(6 \cdot 10^{k}-6\right)^{2}<9\left(4 \cdot 10^{2k}-31\right)<\left(6 \cdot 10^{k}+3\right)^{2} \\ \Leftrightarrow \\ 36 \cdot 10^{2k}-72 \cdot 10^{k}+36<36 \cdot 10^{2k}-279<36 \cdot 10^{2k}+36 \cdot 10^{k}+9 \\ \Leftrightarrow \\ -72 \cdot 10^{k}+36<-279<36 \cdot 10^{k}+9\end{array} \)

wobei die beiden letzten Ungleichungen offensichtlich richtig sind. Ist das so ok?

(Das größte Problem war der Kampf mit LaTeX :-) )

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Rechts bei der zweiten Ungleichung fehlt das "hoch 2".

Ich kann da jetzt keinen Fehler feststellen. Schaut also gut aus. :)

Answer 1

Beachte

\(x=666\ldots6=\frac{2}{3}(10^k-1)\),

\(y=666\ldots7=\frac{2}{3}(10^k-1)+1\) und

\(z=44\ldots441=4\sum\limits_{i=0}^{2k-1}10^i-3=\frac{4}{9}(10^{2k}-1)-3\) (geometrische Reihe).

Es gilt außerdem (dritte binomische Formel): \(y^2-x^2=2x+1\), da \(y=x+1\) gilt.

Zeige also:

1) \(z-x^2>0\)

2) \(z-x^2<2x+1\)

Das ist nur Rechnerei und geht ganz ohne vollständiger Induktion.

Answer 2

Für k = 3 ergibt sich

666^2 < 444441

Für ein beliebiges k ergibt sich

4/9·(10^(2·k) - 2·10^k + 1) < 4/9·(10^(2·k) - 10)

Ich denke, dass wäre für k ≥ 1 recht leicht zu zeigen.

Dabei habe ich jetzt verwendet, dass eine Zahl aus k Einsen geschrieben werden kann als 1/9·(10^k - 1). Das kann man aber auch noch herleiten, wenn man möchte.

Dann müsste man natürlich noch den rechten Teil der Ungleichung zeigen. Das würde ich ähnlich machen bzw. mit der binomischen Formel hantieren.