Wie bildet man aus so einem Ausdruck die Stammfunktion?

Question

Aufgabe: Aus Brüchen und Binomischen Formeln die Stammfunktion bilden

Wie bildet man aus so einem Ausdruck die Stammfunktion?

Problem/Ansatz:

Die Formatierung lässt mich leider keine richtigen Brüche machen mit der binomischen Formel, deswegen schreibe ichs jetzt mal so: (2*x-5)² /3

Erhöht man einfach den Exponenten der binomischen Formeln um 1 sozusagen dass dann steht:

(2*x-5)³ /3, sodass dann am Ende 3* 3 im Nenner 9 steht?

Answer 1

Du kannst Deine Vermutung durch die Probe selbst überprüfen (Ableitung bilden!). Dann siehst Du nicht nur, ob die Vermutung stimmt, sondern in vielen Fällen (so wie hier) auch, was Du ändern musst, damit es eine richtige Stammfunktion wird.

Answer 2

Variante 1:

Ausmultiplizieren und wie gewohnt aufleiten.

Variante 2:

Eine lineare Substitution mit \(u=2x\) durchführen. Wenn ihr das nicht hattet, soll es wohl mit Variante 1 gelöst werden.

Comments

dankeschön, habe es mit dem 2. weg geschafft

---

Das ist super. :)

---

Auch wenn jeder weiß, was mit "aufleiten" gemeint ist, sollte man die Fachsprache benutzen.

Oder gibt es z.B. einen Zusammenhang zwischen abnehmen und aufnehmen?

Auch wenn ableiten und aufleiten suggerieren soll, dass es sich hier um zwei gegensätzliche Operationen handelt, die sich gegenseitig aufheben, ist das nicht korrekt. Das sieht man spätestens, wenn man allgemein die Ableitung eines Integrals oder das Integral einer Ableitung betrachtet.

Answer 3

Zunächst ist der Begriff "die Stammfunktion" etwas irreführend, weil es unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich einfach durch eine additive Konstante (Integrationskonstante) unterscheiden.

Meist berechnet man also eine Stammfunktion oder bei einem unbestimmten Integral die Menge aller Stammfunktionen, die wir dann mit der Integrationskonstanten "+ C" schreiben.

f(x) = (2·x - 5)^2/3 = 1/3·(2·x - 5)^2

das durch drei oder der konstante Faktor 1/3 stört nicht weiter. Die binomische Formel müsste man mit der Umkehrung der Kettenregel integrieren (Integration durch Substitution).  Wenn die noch unbekannt ist, dann ausmultiplizieren

f(x) = 1/3·(2·x - 5)^2 = 1/3·(4·x^2 - 20·x + 25)

Jetzt können wir eine Stammfunktion bilden

F(x) = 1/3·(4/3·x^3 - 10·x^2 + 25·x)

Weil es schöner aussieht, klammern wir noch den Hauptnenner aus

F(x) = 1/9·(4·x^3 - 30·x^2 + 75·x)

Bei Umkehrung der Kettenregel müssten wir noch durch die Ableitung der linearen inneren Funktion teilen

f(x) = 1/9·1/2·(2·x - 5)^3 = 1/18·(2·x - 5)^3