Wie bildet man aus so einem Ausdruck die Stammfunktion?

Question

Aufgabe: Aus Brüchen und Binomischen Formeln die Stammfunktion bilden

Wie bildet man aus so einem Ausdruck die Stammfunktion?

Problem/Ansatz:

Die Formatierung lässt mich leider keine richtigen Brüche machen mit der binomischen Formel, deswegen schreibe ichs jetzt mal so: (2*x-5)² /3

Erhöht man einfach den Exponenten der binomischen Formeln um 1 sozusagen dass dann steht:

(2*x-5)³ /3, sodass dann am Ende 3* 3 im Nenner 9 steht?

Answer 1

Du kannst Deine Vermutung durch die Probe selbst überprüfen (Ableitung bilden!). Dann siehst Du nicht nur, ob die Vermutung stimmt, sondern in vielen Fällen (so wie hier) auch, was Du ändern musst, damit es eine richtige Stammfunktion wird.

Answer 2

Variante 1:

Ausmultiplizieren und wie gewohnt die Stammfunktion bilden.

Variante 2:

Eine lineare Substitution mit \(u=2x\) durchführen. Wenn ihr das nicht hattet, soll es wohl mit Variante 1 gelöst werden.

Comments

dankeschön, habe es mit dem 2. weg geschafft

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Das ist super. :)

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Auch wenn jeder weiß, was mit "aufleiten" gemeint ist, sollte man die Fachsprache benutzen.

Oder gibt es z.B. einen Zusammenhang zwischen abnehmen und aufnehmen?

Auch wenn ableiten und aufleiten suggerieren soll, dass es sich hier um zwei gegensätzliche Operationen handelt, die sich gegenseitig aufheben, ist das nicht korrekt. Das sieht man spätestens, wenn man allgemein die Ableitung eines Integrals oder das Integral einer Ableitung betrachtet.

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Da stimme ich prinzipiell zu, aber schlimmer ist es, wenn jemand bei Extrema mit Nebenbedingung von "Hauptbedingung" und "Nebenbedingung" spricht. Also da bitte auch drauf achten.

Das ist nämlich auch inhaltlich falsch und sorgt regelmäßig für Irritationen, während "aufleiten" nur sprachlich fragwürdig ist.

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Da stimme ich prinzipiell zu, aber schlimmer ist es, wenn jemand bei Extrema mit Nebenbedingung von "Hauptbedingung" und "Nebenbedingung" spricht. Also da bitte auch drauf achten.

Dann solltest du mal ein aktuelles Mathebuch in die Hand nehmen. Dort wird wie im Unterricht auch von Hauptbedingung und Nebenbedingung gesprochen/geschrieben. Dabei kann ich nur für die Mathebücher und Bundesländer sprechen, die ich kenne.

Und ich finde es schon sinnvoll, wenn man sich aus Konventionen aus den Mathebüchern hält.

Du darfst aber gerne an passender Stelle eine Anmerkung machen, wie du es notieren würdest, damit es sprachlich besser wird.

Im Gegensatz dazu habe ich übrigens bisher kein Mathebuch gesehen, in dem "aufleiten" benutzt wird.

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habe ich übrigens bisher kein Mathebuch gesehen...

Das mag sein, gibt es aber leider. Bspw. bei Gehrke: Brückenkurs Mathematik: Fit für Mathematik im Studium. De Gruyter, 2016, S. 346 ("Wir wollen im Folgenden vom Aufleiten anstatt vom Integrieren sprechen ..."). Der Gehrke ist "Leiter des Zentrums für Didaktik der Mathematik" ...

Du darfst aber gerne ... eine Anmerkung machen

Da freut sich ein erwachsener Mensch sicher, von Dir die Erlaubnis bekommen zu haben, etwas anmerken zu dürfen.

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@döschwo Danke, interessanter, ernüchternder Hinweis.

@mc Dass in Mathe-Büchern auch Fehler und didaktische Ungeschicklichkeiten enthalten sind, ist bekannt. Konventionen, die inhaltlich/sprachlich falsch (und didaktisch ungeschickt) sind, sollte man nicht folgen. Im Gegenteil ist das eine gute Gelegenheit Schüler darauf hinzuweisen, dass auch in Büchern Fehler sind, und Richtigkeit stets Vorrang vor Konvention haben sollte. Da lernen sie dann was über den Mathe-Unterricht hinaus.

Answer 3

Zunächst ist der Begriff "die Stammfunktion" etwas irreführend, weil es unendlich viele Stammfunktionen gibt, die sich einfach durch eine additive Konstante (Integrationskonstante) unterscheiden.

Meist berechnet man also eine Stammfunktion oder bei einem unbestimmten Integral die Menge aller Stammfunktionen, die wir dann mit der Integrationskonstanten "+ C" schreiben.

f(x) = (2·x - 5)^2/3 = 1/3·(2·x - 5)^2

das durch drei oder der konstante Faktor 1/3 stört nicht weiter. Die binomische Formel müsste man mit der Umkehrung der Kettenregel integrieren (Integration durch Substitution).  Wenn die noch unbekannt ist, dann ausmultiplizieren

f(x) = 1/3·(2·x - 5)^2 = 1/3·(4·x^2 - 20·x + 25)

Jetzt können wir eine Stammfunktion bilden

F(x) = 1/3·(4/3·x^3 - 10·x^2 + 25·x)

Weil es schöner aussieht, klammern wir noch den Hauptnenner aus

F(x) = 1/9·(4·x^3 - 30·x^2 + 75·x)

Bei Umkehrung der Kettenregel müssten wir noch durch die Ableitung der linearen inneren Funktion teilen

F₂(x) = 1/9·1/2·(2·x - 5)^3 = 1/18·(2·x - 5)^3

Comments

danke für deine hilfe

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Gern geschehen. Du hattest es ja zwar schon ganz alleine geschafft, aber dann hast du es nochmals mit den beiden Möglichkeiten in der Übersicht und mit Kontrollergebnis.