Für welche Werte lambda ist das folgende Gleichungssystem eindeutig lösbar?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte \( \lambda \) ist das folgende Gleichungssystem eindeutig lösbar?

(Hinweis: Welche \( \lambda \) müssen bei der Rechnung gesondert betrachtet werden?)

\( \begin{aligned} (4-\lambda) x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & =2 \\ -x_{1}-\lambda x_{2}- x_{3} & =0 \\ 2 x_{2}+(2-\lambda) x_{3} & =1 \end{aligned} \)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe den Hinweis nicht. Muß ich nicht einfach det = 0 prüfen und bekomme dann die Werte, die ich ausschließen muß?

Answer 1

Wenn die Determinante 0 ist, kann es keine eindeutige Lösung geben.

Der Hinweis bezieht sich also nur auf Leute, die z.B. das Gauss-Verfahren anwenden, bei dem man eine Fallunterscheidung braucht, wenn man durch Terme, die Lambda enthalten dividiert.

DET([4 - k, 1, 2; -1, -k, -1; 0, 2, 2 - k]) = 0 --> k = 1 ∨ k = 2 ∨ k = 3

Für alle Werte ungleich 1, 2 oder 3 gibt es also eine eindeutige Lösung.

Ob es im Falle 1, 2 oder 3 aber keine oder unendlich viele Lösungen gibt, verrät die Determinante so nicht.

Comments

Für alle Werte ungleich 1, 2 oder 3 gibt es also keine eindeitige Lösung.

Ein "k" zuviel?

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Meinst du ernsthaft, dass es keine eindeutige Lösung gibt, wenn die Determinante nicht Null ist?

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Ja. Da hatte sich ein k eingeschlichen. Hab ich korrigiert.

Answer 2

So ist es. Und die Werte die du ausschließt, weil du zum Beispiel durch Null dividierst, musst du gesondert betrachten. Also einsetzen und schauen, ob es für die ausgeschlossenen ebenfalls eine eindeutige Lösung gibt, oder nicht.

Comments

Ein bisschen Rechenübung kann ja nie schaden.