Uniforme Verteilung Verteilungsfunktion

Question

Aufgabe:

Sei Y uniform verteilt auf (0,1) und F eine Verteilungsfunktion. Zeigen Sie, dass X:=F^-1(Y) die Verteilungsfunktion F hat.

Problem/Ansatz:

Angeblich soll die Aufgabe ganz einfach/kurz sein, aber ich bin total durcheinander, was jetzt welche Funktion ist und was wo als Argument reingesteckt wird.

Ich weiß, dass F^-1 die verallgemeinerte Inverse ist und es gilt F^-1(Y)=inf{x€R / F(x)>=Y}, Y€(0,1).

Leider ist das ja aber nicht die Inverse von der Verteilungsfunktion von Y F_Y, was ja einfach wieder selbst F_Y wäre, sondern die Inverse irgendeiner Verteilungsfunktion, unter der Y ausgewertet wird.

Die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X ist F_X=P(X<=t)=P(F^-1(Y)<=t)

Weiter komme ich nicht und vorallem weiß ich nicht, wo ich die uniforme Verteilung als Eigenschaft nutze.

Danke für jede Hilfe!

Comments

Apfelmännchens Weg ist besser als meiner. Daher lösche ich den Inhalt meines Kommentars wieder.

Answer 1

F_X=P(X<=t)=P(F^-1(Y)<=t)

Guter Ansatz. Zeige, dass \(F^{-1}(Y)\leq t\) äquivalent ist zu \(Y\leq F(t)\) und wende dann an, dass \(Y\) gleichverteilt auf \((0;1)\) ist, also \(P(Y\leq z)=z\). Am Ende steht dann dort \(F_X(t)=F(t)\) und damit \(F_X=F\).