Wieviele solche Aktionen sind mindestens erforderlich, um die ganze Ebene zu entfernen?

Question

Ein irrationaler Locher funktioniert so, dass man einen Punkt der Ebene auswählt und der Locher dann alle Punkte der Ebene entfernt, die einen irrationalen Abstand zu dem Punkt haben. Wieviele solche Aktionen sind mindestens erforderlich, um die ganze Ebene zu entfernen?

Also ich komme nach meinen Überlegungen auf mindestens 3. Liege ich damit richtig?

Comments

Warum? Erkläre Deine Überlegungen. In welchem Fall braucht man 3 Aktionen?

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Das klingt richtig, aber es bedarf natürlich einer sauberen Argumentation ( es sind drei nötig).

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1. Wenn man mit einer einzigen Lochung arbeitet, bleibt immer ein unendlich dünner Streifen übrig, da nicht alle Punkte mit einem rationalen Abstand zum gewählten Punkt entfernt werden können.

2. Zwei Lochungen reichen ebenfalls nicht aus, um die ganze Ebene zu entfernen, da es immer noch Punkte gibt, die sowohl von beiden Lochungen nicht betroffen sind (z. B. Punkte mit rationalen Abständen zu beiden Punkten, aber irrationalem Abstand zueinander).

3. Drei Lochungen reichen jedoch aus, um die gesamte Ebene zu entfernen. Dies kann durch die Wahl von drei Punkten auf der Ebene gezeigt werden, deren Abstände irrational sind, aber so gewählt, dass die Lochungen zusammen alle Punkte der Ebene erfassen.

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Das wäre mir etwas zu ‚dünn‘, insbesondere 3.

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Zu 1: Beachte, dass alle Punkte, die zu einem bestimmten Punkt \(P\) denselben Abstand haben, auf einer Kreislinie liegen. Hier von Streifen zu sprechen, ist also sehr ungeschickt.

Und ja, 3. ist viel zu oberflächlich. Warum geht es bei drei Lochungen, nicht aber bei zwei? Es fehlt die Argumentation, warum bei drei Lochungen eben keine Punkte mehr übrig bleiben. Es könnte ja, wie im Fall von zwei Lochungen noch immer Punkte geben, die dann zu einem der drei Punkte einen rationalen Abstand haben.

Answer 1

Das Problem ist recht bekannt im Internet.

Z.B.

Daher ist es eigentlich für fast jede KI ein leichtes, dass zu beweisen.

Ich habe dann noch versucht den Schwierigkeitsgrad etwas zu erhöhen und fragte wie groß die Menge an Punkten sein müsste, um jeden Punkt eines Raumes zu wegzulochen.

Aber auch das war nicht wirklich ein Problem.