Bestimme alle Punkte der Achse, die von der Geraden den Abstand 9 haben sowie den Punkt mit dem geringsten Abstand

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade \( g: \; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 11 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\quad , \quad t \in \mathbb{R} \)

(a) Bestimme alle Punkte der \( x_{1} \)-Achse, die von der Geraden \( g \) den Abstand 9 LE haben.

(b) Bestimme ohne Rechnung den Punkt der \( x_{1} \)-Achse mit dem geringsten Abstand von der Geraden \( g \). Begründe Deine Antwort.

Problem/Ansatz:

bei a) habe ich mir überlegt einen Punkt der x1 Achse als (s,0,0) zu nehmen und den Abstand zu einem Punkt P auf g zu berechnen. Dann bekomme ich aber eine Gleichung mit zwei Parametern und komme nicht weiter.

Zu b) könnte ich auch einen Tip gebrauchen wie man das ohne rechnung rauskriegt

Comments

b)

Der Abstand vom gesuchten Punkt zu g ist das Minimum von

\(\displaystyle \sqrt{(0+0 t-x_1)^{2}+(11+t-0)^{2}+(3+t-0)^{2}} \)

was offensichtlich bei x₁ = 0 liegt.

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Danke! Das ist ja genau die Formel die ich bei a nehmen wollte. Zählt das denn als ohne Rechnung begründen?

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Keine Ahnung, wie Eure Lehrkraft es begründet haben will.

Der Abstand ist minimal dort, wo der Radikand minimal ist. Von x₁ ist nur der erste Summand abhängig. Der ist minimal, wenn die Basis der Potenz gleich null ist. Ausgerechnet habe ich damit noch nichts.

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Das ist eine Rechnung und wäre damit nicht im Sinne der Aufgabe. Ohne Rechnung bedeutet wirklich ohne Rechnung und rein argumentativ. Das geht hier auch.

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Oder man sagt, g liegt in der x₂x₃-Ebene, und hat immer den x₁-Wert von null, auch dort wo der minimale Abstand ist.

Answer 1

a) Betrachte die besondere Lage der Geraden. Welche ist das? Überlege dir dann, wie man damit den Abstand eines Punktes auf der \(x\)-Achse bestimmen kann. Eine Skizze und Pythagoras helfen hier.

Dein Ansatz funktioniert nicht, weil du ja nicht einfach einen beliebigen Punkt der Geraden nehmen kannst.

Alternativ gibt es aber auch eine Formel zur Abstandsberechnung. Da weiß ich aber nicht, ob ihr das gemacht habt (vgl. Hessesche Normalform).

b) Nutze die besondere Lage von \(g\) als Argumentation. Welcher Punkt muss dann zwangsläufig den kürzesten Abstand haben. Wenn man a) verstanden hat, versteht man die Argumentation sofort.

Comments

Das hilft mir leider nicht weiter. Die Gerade liegt in der y,z-Ebene, ok, aber was macht das?

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Wie das Apfelmännchen schrieb:

Eine Skizze und Pythagoras helfen hier.

Berechne also die Koordinaten zweier Punkte ∈ g und zeichne g in die x₂x₃-Ebene.

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Hab ich längst, aber seh nicht wie ich damit Pythagoras den Abstand 9 bekomme.

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Wenn Du Deine Skizze hier hochlädst, kann jemand die Lösung einzeichnen.

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Besser kann ich das nicht

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etwa so:

(Die Länge der Hypotenuse beträgt 9. Es gibt zwei Lösungen. Sie unterscheiden sich im Vorzeichen. Eingezeichnet habe ich x₁ = -7)

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Danke, aber das verstehe ich nicht.

Hab aber jetzt a) auf meine Art mit Rechnung raus und KI,sagt es stimmt.

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Ich würde der AI auf keinen Fall vertrauen.

Ob man unbekannten Leuten in einem Internetforum vertrauen möchte, kann man erst entscheiden, wenn man es versteht. Wenn man es nicht versteht, hat man zudem nichts gelernt.

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Nach Pythagoras berechnet sich der Abstand über die drei Komponenten, also salopp ausgedrückt \(d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Da die Gerade in der \(yz\)-Ebene liegt, kannst du den Abstand zum Ursprung mit der Geraden berechnen. Dann musst du aus Symmetriegründen nur noch überlegen, wie weit die Verschiebung auf der \(x\)-Achse erfolgen muss, um auf den Abstand 9 zu kommen.

Letztendlich für das zur Gleichung \(x^2+32=9^2\) (Abstand Ursprung zur Geraden ist \(\sqrt{32}\)).

Answer 2

a)

Kennt ihr das Kreuzprodukt bzw. die Bedeutung des Kreuzproduktes. Darauf beruht die Abstandsformel eines Punktes von einer Geraden.

Benutze ich die, erhalte ich als Ansatz

|([x, 0, 0] - [0, 11, 3]) ⨯ [0, 1, 1]| / |[0, 1, 1]| = 9

Damit erhalte ich x = ±7

Die Punkte sind also bei (±7 | 0 | 0)

b)

Die Gerade verläuft in der yz-Ebene. Die x-Achse verläuft senkrecht zur yz-Ebene. Damit hat auf der x-Achse der Punkt der ebenfalls in der yz-Ebene liegt, den kleinsten Abstand. Das ist der Koordinatenursprung.

Vielleicht hilft es dir, sich das bei Geogebra zu visualisieren:

Comments

Die beiden Punkte auf der x-Achse, die einen Abstand von 7 zu einem Punkt auf der Geraden haben muss ja der kleinste Abstand zur Geraden sein, weil Abstände immer senkrecht gemessen werden.

Nun bilden die beiden Punkte auf der x-Achse mit dem Punkt auf der Geraden ein gleichschenkliges Dreieck. Will man jetzt den Abstand weiter verringern, kommt nur die Höhe dieses gleichschenkligen Dreiecks infrage. Also der Punkt auf der x-Achse, der direkt zwischen den beiden Punkten liegt, deren Abstand 7 zur Geraden beträgt. Das ist der Koordinatenursprung.