Bestimme alle Punkte der Achse, die von der Geraden den Abstand 9 haben sowie den Punkt mit dem geringsten Abstand

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Gerade \( g: \; \vec{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\ 11 \\ 3\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\quad , \quad t \in \mathbb{R} \)

(a) Bestimme alle Punkte der \( x_{1} \)-Achse, die von der Geraden \( g \) den Abstand 9 LE haben.

(b) Bestimme ohne Rechnung den Punkt der \( x_{1} \)-Achse mit dem geringsten Abstand von der Geraden \( g \). Begründe Deine Antwort.

Problem/Ansatz:

bei a) habe ich mir überlegt einen Punkt der x1 Achse als (s,0,0) zu nehmen und den Abstand zu einem Punkt P auf g zu berechnen. Dann bekomme ich aber eine Gleichung mit zwei Parametern und komme nicht weiter.

Zu b) könnte ich auch einen Tip gebrauchen wie man das ohne rechnung rauskriegt

Comments

b)

Der Abstand vom gesuchten Punkt zu g ist das Minimum von

\(\displaystyle \sqrt{(0+0 t-x_1)^{2}+(11+t-0)^{2}+(3+t-0)^{2}} \)

was offensichtlich bei x₁ = 0 liegt.

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Danke! Das ist ja genau die Formel die ich bei a nehmen wollte. Zählt das denn als ohne Rechnung begründen?

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Keine Ahnung, wie Eure Lehrkraft es begründet haben will.

Der Abstand ist minimal dort, wo der Radikand minimal ist. Von x₁ ist nur der erste Summand abhängig. Der ist minimal, wenn die Basis der Potenz gleich null ist. Ausgerechnet habe ich damit noch nichts.

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Das ist eine Rechnung und wäre damit nicht im Sinne der Aufgabe. Ohne Rechnung bedeutet wirklich ohne Rechnung und rein argumentativ. Das geht hier auch.

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Oder man sagt, g liegt in der x₂x₃-Ebene, und hat immer den x₁-Wert von null, auch dort wo der minimale Abstand ist.

Answer 1

a)

Kennt ihr das Kreuzprodukt bzw. die Bedeutung des Kreuzproduktes. Darauf beruht die Abstandsformel eines Punktes von einer Geraden.

Benutze ich die, erhalte ich als Ansatz

|([x, 0, 0] - [0, 11, 3]) ⨯ [0, 1, 1]| / |[0, 1, 1]| = 9

Damit erhalte ich x = ±7

Die Punkte sind also bei (±7 | 0 | 0)

b)

Die Gerade verläuft in der yz-Ebene. Die x-Achse verläuft senkrecht zur yz-Ebene. Damit hat auf der x-Achse der Punkt der ebenfalls in der yz-Ebene liegt, den kleinsten Abstand. Das ist der Koordinatenursprung.

Vielleicht hilft es dir, sich das bei Geogebra zu visualisieren:

Comments

Die beiden Punkte auf der x-Achse, die einen Abstand von 7 zu einem Punkt auf der Geraden haben muss ja der kleinste Abstand zur Geraden sein, weil Abstände immer senkrecht gemessen werden.

Nun bilden die beiden Punkte auf der x-Achse mit dem Punkt auf der Geraden ein gleichschenkliges Dreieck. Will man jetzt den Abstand weiter verringern, kommt nur die Höhe dieses gleichschenkligen Dreiecks infrage. Also der Punkt auf der x-Achse, der direkt zwischen den beiden Punkten liegt, deren Abstand 7 zur Geraden beträgt. Das ist der Koordinatenursprung.

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Wir hatten ein Vektorprodukt, aber nicht diese Formel mit der es schön schnell geht.

Ich bin aber mit meinem Ansatz auf dieselben Punkt gekommen, ich sucht eine Lösung per Rechnung ohne mir vorstellen zu müssen wie das im Raum aussieht, da bin ich nicht gut drin

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... da bin ich nicht gut drin

Üben hilft. Vermeiden hilft nicht.

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wir machen aber keine 3d skizzen im unterricht

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Vielleicht kannst Du es darum nicht. Üben hilft. Vermeiden hilft nicht. Selbständigkeit ist eine Tugend. Die Gerade g konnte man in meiner Skizze ja 2D zeichnen.

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@döschwo ernst gemeinte Frage, da du dich ja mit Bananen auskennen tust (warum auch immer) sind die gesünder als Äpfel oder nicht, ich hatte in der Arbeit mal jemand der hat geschworen auf Äpfel und wie gesund sie doch sind.

Jetzt als experte was ist deine Meinung dazu, als langjährige Bananane Liebling?

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Äpfel haben weniger Kalorien und Zucker und einen niedrigeren glykämischen Index, was sie besser für eine kohlenhydratbewusste Ernährung macht. Bananen sind hingegen kalorienreicher, enthalten aber mehr wichtige Mineralstoffe wie Kalium und Magnesium sowie Vitamine wie B6, A und Folsäure. Beide Früchte sind reich an Ballaststoffen. Was ich aber fast wichtiger finde, sind die unterschiedlichen Implikationen für den Fortschritt der Menschheit: Newton ist mal ein Apfel auf den Kopf gefallen, und er kam auf die Gravitation. Mir ist mal eine Banane auf den Kopf gefallen, und ich habe nichts Vergleichbares geleistet. Cum hoc ergo propter hoc.

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Bereits meine Ur-Ur-Ur-Oma wusste.

"An apple a day keeps the doctor away."

Sie ist immerhin über 110 Jahre alt geworden.

Und mein Opa hat als Marathonläufer mal gesagt: "Wenn man einen Energieriegel weiter entwickeln würde. Also ihn gesünder, nährreicher und nachhaltiger macht, würde eine Banane herauskommen."

Er ist allerdings nicht so alt geworden wie meine Ur-Ur-Ur-Oma. Er hat auch nicht so viele Äpfel gegessen.

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Wir hatten ein Vektorprodukt, aber nicht diese Formel mit der es schön schnell geht.

Wozu habt ihr das Vektorprodukt benutzt? Es hat zwei richtig gute Eigenschaften, die man kennen sollte.

1. Der Ergebnisvektor steht senkrecht zu den mit dem Vektorprodukt multiplizierten Vektoren.

2. Der Betrag des Vektorproduktes ist so groß wie die Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

Ich benutzte die 2. Eigenschaft und teile den Betrag des Vektorproduktes durch die Länge eines aufspannenden Vektors und erhalte genau den Abstand eines Punktes von eben diesem Vektor.

Leider vermitteln manche Lehrer nicht mal diese 2 guten Eigenschaften des Vektorproduktes. In einem guten Schulbuch stehen diese aber drin.

Answer 2

a) Betrachte die besondere Lage der Geraden. Welche ist das? Überlege dir dann, wie man damit den Abstand eines Punktes auf der \(x\)-Achse bestimmen kann. Eine Skizze und Pythagoras helfen hier.

Dein Ansatz funktioniert nicht, weil du ja nicht einfach einen beliebigen Punkt der Geraden nehmen kannst.

Alternativ gibt es aber auch eine Formel zur Abstandsberechnung. Da weiß ich aber nicht, ob ihr das gemacht habt (vgl. Hessesche Normalform).

b) Nutze die besondere Lage von \(g\) als Argumentation. Welcher Punkt muss dann zwangsläufig den kürzesten Abstand haben. Wenn man a) verstanden hat, versteht man die Argumentation sofort.

Comments

Das hilft mir leider nicht weiter. Die Gerade liegt in der y,z-Ebene, ok, aber was macht das?

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Wie das Apfelmännchen schrieb:

Eine Skizze und Pythagoras helfen hier.

Berechne also die Koordinaten zweier Punkte ∈ g und zeichne g in die x₂x₃-Ebene.

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Hab ich längst, aber seh nicht wie ich damit Pythagoras den Abstand 9 bekomme.

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Wenn Du Deine Skizze hier hochlädst, kann jemand die Lösung einzeichnen.

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Besser kann ich das nicht

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etwa so:

(Die Länge der Hypotenuse beträgt 9. Es gibt zwei Lösungen. Sie unterscheiden sich im Vorzeichen. Eingezeichnet habe ich x₁ = -7)

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Danke, aber das verstehe ich nicht.

Hab aber jetzt a) auf meine Art mit Rechnung raus und KI,sagt es stimmt.

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Ich würde der AI auf keinen Fall vertrauen.

Ob man unbekannten Leuten in einem Internetforum vertrauen möchte, kann man erst entscheiden, wenn man es versteht. Wenn man es nicht versteht, hat man zudem nichts gelernt.

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Nach Pythagoras berechnet sich der Abstand über die drei Komponenten, also salopp ausgedrückt \(d=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Da die Gerade in der \(yz\)-Ebene liegt, kannst du den Abstand zum Ursprung mit der Geraden berechnen. Dann musst du aus Symmetriegründen nur noch überlegen, wie weit die Verschiebung auf der \(x\)-Achse erfolgen muss, um auf den Abstand 9 zu kommen.

Letztendlich für das zur Gleichung \(x^2+32=9^2\) (Abstand Ursprung zur Geraden ist \(\sqrt{32}\)).