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Hallo! Ich benötige Hilfe bei dieser Aufgabe:

Die Kugeln K1 und K2 schneiden sich nicht. Welche beiden Punkte von K1 und K2 haben den geringsten Abstand voneinander?

K1: x^2 + y^2 + z^2 = 81

K2: (x - 6)^2 + (y - 12)^2 + (z - 12)^2 = 36

Ich habe zunächst die Mittelpunkte und den Radius der Kugeln abgelesen.

M1 (0 | 0 | 0), r1 = 9

M2 (6 | 12 | 12), r2 = 6

Wie muss ich weiter rechnen? Macht es Sinn eine Geradengleichung aufzustellen und dann zu schauen, wo diese Gleichung die beiden Kreise schneidet?

von

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Macht es Sinn eine Geradengleichung aufzustellen und dann zu schauen,

wo diese Gerade die beiden Kugeln  schneidet?

Ja, das macht viel Sinn.  Das gibt 4 Schnittpunkte und die 

beiden mittleren sind die gesuchten.

wenn man die Geradengleichung   

x= r*(6;12;12)^T nimmt, bekommt man die Lösungen 

r= ±1/2   und   ( r=4/3   oder r=2/3 ) 

also sind die beiden Punkte die für r=1/2 und für r= 2/3 , also 

P1=(3;6;6) und P2(4;8;8).

von 152 k

Muss ich die Geradengleichung in die Kugelgleichungen einsetzen? Ich komme nämlich nicht auf die Ergebnisse.

Ja einfach einsetzen, dann gibt es bei der 1.Kugel:

x2 + y2 + z2 = 81

mit der Geraden  g:  x= r*(6;12;12)T

36r^2 + 144r^2 + 144r^2 = 81 

<=> 324r^2 = 81 

<=> r^2 = 0,25 

<=> r= ±0,5   Passt doch !

Ich habe es versäumt die r zu quadrieren. Vielen Danke für deine Hilfe!

+1 Punkt

> Macht es Sinn eine Geradengleichung aufzustellen

Ja.

> und dann zu schauen, wo diese Gleichung die beiden Kreise schneidet?

Ja.

Einfacher finde ich aber vollgendes Forgehen:

\(\vec{m_1}\) sei der Ortsvektor von M1, \(\vec{m_2}\) der von M2.

Berechne \(\vec{v} = \vec{m_2} - \vec{m_1}\).

Berechne \(\vec{w} = \frac{1}{\left|\vec{v}\right|}\cdot \vec{v}\).

Beechne \(\vec{m_1} + r_1\cdot\vec{w}\). Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes auf K1.

Beechne \(\vec{m_2} - r_2\cdot\vec{w}\). Das ist der Ortsvektor des gesuchten Punktes auf K2.

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